概率统计练习册答案1(9)

答案：（D） 解：

E[(X??EX)(YEY)]?0?Cov(X,Y)?0??0XY，即X,Y不相关.

?(X?Y)?DX?DY,8.设D则以下结论正确的是( ).

A. X,Y不相关 B. X,Y独立 C. 答案：（A） 解：不相关.

9.下式中恒成立的是( ).

?xy?1 D.

?xy??1

D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?DX?DY?Cov(X,Y)?00??XY，即X,Y

?(XY)?EX?EY(X?Y)?DX?DY A. E B. D ov(X,aX??b)aDX(X?1)?DX?1 C. C D. D 答案：（C） (XY)?EX?EY解：E成立的前提条件是X,Y相互独立；

(X?Y)?DX?DY(X?Y)?DX?DY当X,Y相互独立时，有D，即D成立的充分条件是X,Y相互独立；

而

D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?DX?DY?Cov(X,Y)?0??0XY

?(X?Y)?DX?DY即X,Y不相关，所以D成立的充要条件是X,Y不相关；

Cov(X,aX?b)?Cov(X,aX)(?CovX,b)?aCov(X,X)?aD(X)； D(1X?)??D(X)(D1)?2Cov(X,1)?D(X).

10.下式中错误的是( ).

(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y) A. D

ov(,)XY?E(XY)??EXEY B. C

1Cov(X,Y)?[D(X?Y)?DX?DY]2 C. (2X?3Y)?4DX?9DY?6Cov(X,Y)D. D

答案：（D）

1D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?Cov(X,Y)[?D(X?Y)?DX?DY]2解：由；

D(2X?3Y)?D(2X)?D(3Y)?2Cov(2X,3Y)?4D(X)?9D(Y)?12Cov(X,Y).

11.下式中错误的是( ).

22EX?DX?(EX)(2X?3)?2DX A. B. D (3Y?b)?3EY?b(EX)?0 C. E D. D

答案：（B）

2222D(X)?E(X)?[E(XE)]?(X)?DX?[E(X)]解：由；

D(2X?3)(?D2X)?D(3)?2Cov(2X,3)?4D(X)； E(3)Y?b?E(3Y)??E(b)3E(Y)?b； E(X)是一个确定的常数，所以DEX(())?0.

2EX??,DX??,??012. 设X是一随机变量,,则对任何常数c,必有( ). 22222E(X?c)?E(X??)E(X?c)?EX?C A. B. 222E(X?c)?DXE(X?c)?? C. D.

答案：（D）

22222E[(X?cE)](??X2cX?c)(?EX)?2cE(X)?c解：

2222?E(X)?[E(X)]?{[E(X)]?2cE(X)?c}22222?E(X)?[E(X)]?[E(X)?c]?D(X)?[E(X)?c]?D(X)?

?

1P{X?k}?,k?1,2,,n,则D(X)= n13.随机变量X的概率分布律为

( ).

12121(n?1)(n?1)(n?1)22(n?1) D. 12A. 12 B. 12 C. 12

答案：（B）

n111n(n?1)(n?1)E(X)?k?k????nnn22， k?1k?1解：

n11n(n?1)(2n?1)(n?1)(2n?1)21E(X)?k?k????nn66， k?1nk?122nn(n?1)(2n?1)(n?1)22212D(X)?E(X)?[E(X)]??[]?(n?1)6212. 故

x?1?10?e,x?0X~f(x)??10?0,x?0?14. 随机变量

(2X?1)=( ). ,则E4?1?10?14 10 A. B. 4 C. 21 D. 20

答案：（C）

解：

xxxx????1x?10101010E(Xx)?f(x)dx?xedx??xde??xe|?10ed(?)?100????1010??000????

?E(2X?1)(?E2X)?E(1)?2E(X)?1?21.

15.X服从[0,2]上的均匀分布,则DX=( ).

1111 A. 2 B. 3 C.6 D. 12

答案：（B）

(2?0)21(b?a)2DX()??D(X)?XU[a,]b123. 12解：由于当时，，故这里

16. 若

Y?X?X,X~N(0,1),i?1,2,12i则( ).

) D.Y~N(0,2) A. EY=0 B. DY=2 C.Y~N(0,1答案：（A）

解：由于

XN(0,1),i?1,2E(X)?E(X)?0D(X)?D(X)?1i~1212，所以， Y?X(Y)?E(X)?E(X)?01?X2，所以E12，

又因为

D(Y)?D(X)?D(X)?2Cov(X,X)?2?2[E(XX)?E(X)E(X)]?2?2E(XX),1212121212XXE(X1X2)的值无法计算，故D(Y)的值未知. 而1与2的独立性未知，所以

?{(x,y):0?x,y?a}|X?Y| 17.设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,则E的值为( ).

A. 0 B.1/2a C. 1/3a D. 1/4a 答案：（C）

?{(,)y|0?x,ya?}解：由于(X,Y)服从区域Dx上的均匀分布，所以(X,Y)的概率密度为

?1?,(x,y)?Df(x,y)??a2??0,(x,y)?D，则

1EX|?Y|?|x?yf|(,xy)dxdy?[dx(x?y)dy?dy(y?x)dx]2??????aD00002312x2aa?2?2??dx(x?y)dy?dx??2?2a0?a2a6300axaaxay.

18. 下列叙述中正确的是( ).

X?EXX?EX~N(0,1)D()?1DXDX A. B.

22EX?(EX) C.

22EX?DX?(EX) D.

答案：（D）

X*?解：令

X?EXX?EX*X?~N(0,1)**DX，则有EX?0，DX?1，但不一定有DX.

19. 设

2x,0?x?1?X~f(x)??0,其他?,以Y表示对X的三次独立重复观察中

X?“

A． 9/16 B. 16/9 C. 3/4 D. 4/3 答案：（A）

1112PX{?}?2xdx?Y?024解：由题意知，故Y服从参数为3和1/4的二项分布，即

12”出现的次数，则DY=（ ）.

1b(3,)4，

139D(Y)?npq??3??4416因此.

20. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为f(x,y),两个边缘概 率密度分别为

??fX(x)与fY(y),则下式中错误的是( ).

B.

A.

EX??xfX(xd)x??EX???????????xf(x,y)dxdy

????XY????C.

答案：（D）

EY??2????2x,y)dxdyE(XY)?yf(x)f(y)dxdy?yf(??x D.

????????解：

E(XY)?yf(,xy)dxdy??x????，只有当X与Y独立时，才有

E(XY)?(x)f(y)dxdyxy??xyf????????.

二、填空题

??X?1?(X)?2，则p1．随机变量X服从参数为?的泊松分布，且D .

2e?X?1?2e??(X)?2，故p1!解：由题设?=D.

?21?2(X)?0.1,E(X)?0.92．已知离散型随机变量X可能取到的值为：-1，0，1，且E，则X的

概率密度是 .

22E(X)?0.9,E(X)?0.1解：假设P（X=-1）=a，P（X=0）=b，P（X=1）=c,则a+b+c=1,-a+0+c=,a+c=

故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即X的概率分布是P（X=-1）=0.4，P（X=0）=0.1，P（X=1）=0.5.

2X~N(??,)，则X的概率密度f(x)? 3．设随机变量

EX? ；DX? .若

EY? ；DY? .

Y?X???，则Y的概率密度f(y)?

x221e2X??;f(y)?2??0, DY?1. 解： ,EX??,D,EY2E(X)?5，则X的概率密度函数pX~N(?,4)(2?X?4)?0.3,4.随机变量，且

f(x)?1e2??(x??)2?2?2?为 .

222E()X?D(X)?[E(X)]4???5??1解：由题设，故X的概率密度函数为1)1?(x?f(x)?e822?.

2??25.若随机变量X服从均值为3，方差为?(2?X?4)?0.3,则的正态分布，且PP(X?2)? .

解：由题设

2?3X?34?3?1X?3111p(2?X?4)?p(??)?p(??)??()??(?)????????11??2()??10.3??()?0.65??X?32?311?pX(?2)?p(?)??(?)??1?()?0.35????.

6．已知随机变量X的分布律为：

X p 0 1/3 1 1/6 2 1/6 3 1/12 4 1/4 (?2X?1)= . 则E(X)= ，D(X)= ，E解：E(X)=0+1/6+1/3+1/4+1=7/4；

E(X2)=0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12；

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=67/12-49/16=121/48；

E(?2X?1)=-2E(X)+E（1）=-7/2+1=-5/2.

7．设解：

DX?4,DY?9,?0.5,则D(2X?3Y)?_____________XY.

?