概率统计练习册答案1(4)

(),fx()??f(x),F(x)9.设随机变量的概率密度函数为fx是的分布函数,则对任意实数a有( ).

( ).

A.

F(?a)?1?)dx?f(x0a

1aF(?a)??f(x)dx?02 B.

(?a)?F(a)C.F

答案：（B）

(?a)?2F(a)?1 D.F

1F(0)?PX(?0)?f(x)的f(x)?f(?x)，2.的落解：由于所以概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y轴对称，因此随机变量在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出我们可以画出函数图形，借助图形来选出答案B.

1F(0)?PX(?0)?2.落变量在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出我们可以画出函数f(x)的图形，借助图形来选出答案B. 1也可以直接推导如下：

F(0)?PX(?0)??a2.我们可以画出函数f(x)的图形，借助图形来选出答案B.

F(?a)??f(xd)xu??x??，令，则有

a1F(?a)??f(?u)du?f(u)du?f(x)dx?f(x)dx?f(x)dx??f(x)dx.???????aa0002

a???a

?3x,0?x?1?f(x)??21P{X?}?0,其他?410.设X的密度函数为，则为( ). 1??323xdx1??4xdx1???2 A. B.42 C. D.3

答案：（A）

313721P{X?}?f()xdx?xdx?x|?1?44?81124411解：

.

~N(1,4),?(0.5)??0.6915,(1.5)?0.9332,则P{||X?2}11.设X为( ).

A.0.2417 B.0.3753 C.0.3830 D.0.8664 答案：（B）

?2?1X?12?1P{X?2}1??P{X?2}1??P{?2?X?2}1??P{??}222解：

12.设X服从参数?的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).

??x?1?e,x?0F(x)??0,x?0? A.

?1?[?(0.5)??(?1.5)]?1??(0.5)?1??(1.5)?0.3753.

??xx?0,有P{X?x}?e B.对任意的

?0,t?0,有P{X?s?t|X?s}?P{X?t} C.对任意的s

D.?为任意实数

答案：（D）

??x??xP{X?x}?1?P{X?x}?1?F(x)?1?(1?ee)?x?0,解：对任意的；选项C描述的

是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数??0.

2X~N(?,?),13.设则下列叙述中错误的是( ).

X?? A.

?2~N(0,1)

a??b??P{X?(a,)b}??()??()x??F(x)??(?) B.

C.

13.答案：（A）

?{|X??|?k?}?2?(k)?1,(k?0)? D.P

X??解：选项A改为?~N(0,1)，才是正确的；

????；

P{|X??|?k?}{?P?k??X???k?}{?P?k????X?k???}?k?????X??k??????P{????(k)??()2?k??(k)?1,(k?0)???}.

a?b?P{X?(a,b)}(?Fb)?F(a)??()??()2

Xx?1?014.设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,则方程x?有实根的概率是( ). A.0.7 B.0.8 C.0.6 D.0.5 答案：（B）

解：由于随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,所以X的概率密度函数为

2,6]?15,x?[1f(x)???0,x?[1,6].而方

?X?4?0?X?2或X??2Xx?1?0有实根，当且仅当?程x?，因此方程

2x?Xx?1?0有实根的概率为

26?2pP?{X??2}P{X??2}??0.86?1.

二、填空题

1．随机变量X的分布函数F(x)是事件 X?x 的概率.

1111,,,2c4c8c16c，则c? X2．已知随机变量只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是

111115151??????c?2c4c8c16c16c16解：由规范性知.

2kp(X?k)?a(),k?1,2,?a33．当的值为 时，才能成为随机变量X的分布列.

22/31k1?a()?a?2a?a??12?/32k?13解：由规范性知.

4．设离散型随机变量X的分布函数为：

??0,x??1?a,?1?x?1??F(x)??2?3?a,1?x?2???a?b,x?2

且

p(X?2)?1?_______,b?________2，则a.

{X?x}?P{X?x}?P{X?x}?F(x)?F(x?0)解：因为P，所以只有在F（X）的不连续点

（x=-1,1,2）上P{X=x}不为0,且P（X=-1）=F（-1）-F（-1-0）=a，P{X=1}=F（1）-F（1-0）=2/3-2a，P{X=2}=F（2）-F（2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6.

[1,5]，当x1?x5(xX?x)1?2?1?25．设X~U时，p= .

?1?,1?x?5f(x)??4?[1,5]，所以X的概率密度为?0,其它解：由于X~U，

?x112p(xX???x)f(x)dx?dx?(x?1)12?2???144故.

2X~N(?,?)，则X的分布密度f(x)?6．设随机变量

f(x)?1e2??2(x??)?22?,???x??.

若

Y?X???，则Y的分布密度f(y)?f(y)?1e,???y??2?

2y?2??(3,4)，则p?2?X?7?7．设X~N .

??2?3X?37?3?P?2?X?7?P??????22??2?(2)??(2?.5)??(2)??(2.5)10??.9972?0.9938?10?.9910解：?.

2X~N(3,2)，若p(X?c)?p(X?c)8．设，则c? .

解：由

pX(?c)?pX(?c)?pX(?c)?1?pX(?c)1X?3c?3c?3??(0)??pX(?c)?p(?)??()2222c?3??0?c?32

??1??11????0.50.5??0.5??XY?2X?19.若随机变量的分布列为，则的分布列为?

10.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝X度为

23??0.5?。

在（０，４）内的概率密

fY(y)＝ .

y11F(y)??P{Yy}?P{X??y}dx?y,(0?y?4)Y?022解：

1?f(y)?F(y)?(0?y?4)YY4y故.

三、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律

解：X可以取值3，4，5，分布律为

P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)?21?C23C5?11021?C33P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??310C521?C64P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)??310C5 也可列为下表 X： 3， 4，5

136,,101010 P：

0,x?1,??F)??lnx,1?x?e,X(x?,x?e.?1四、 设随机变量X的分布函数为，

求（1）P (X<2), P {0

解：（1）P (X≤2)=FX (2)= ln2， P (0

5555P(2?X??F()?F(2)?ln?ln2?ln2X2X24

1??,1?x?e,f(x)?F'(x)??x?,其它?0（2）

五、设随机变量X的概率密度f(x)为

50?x?1?x?f(x)??2?x1?x?2?其他?0

求X的分布函数F (x)。

解：

F(x)?P(X?x)?t)dt?f(

??x当x?0时,F(x)??x??0dt?00x2当0?x?1时,F(x)?0dt?tdt???02??x当1?x?2时,F(x)?当2?x时,F(x)?故分布函数为

?0??0dt??10x2tdt?(2?t)dt?2x??112?x?0??0dt?x?0?10tdt??21(2?t)dt??x20dt?1

?0?x2??F(x)??22x?2x??12???1

0?x?11?x?22?x

2x?4xK?K?2?0六、设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4有实根的概率

1??0?K?5f(K)??5?0?其他?0 ∵ K的分布密度为： 2

要方程有根，就是要K满足(4K)－4×4× (K+2)≥0。 解不等式，得K≥2时，方程有实根。

??5??13P(K?2)?f(x)dx?dx?0dx?22555∴

???