概率统计练习册答案1(7)

433xx22P{(X,Y)?D}?f(x,y)dxdy?xydxdy?dxxydy?(?)dx?0.6???????220216DDG0x2212.

2XX,,,XN(?,?),则( ). 12n13.设相独立且都服从

21?(X?X??X)~N(?,)12nX?X??Xnn A.12 B.n2222X?3~N(2?3,4?3)X?X~N(0,???)11212 C. D.

??答案：（B）

解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若

XN(,),i?1,2,,ni~i，则

??2i22Y?kN(k?k.???iXi~ii,i?i)i?1i?1i?1nnn2n11n122(X??X?X)~N(,())?N(,)??12nnnni?1i?1因此n；

22X?X~N(?,2??)N(0,2)12????

?????.

令

Z?2X1?3，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z的概率密度函数为

f()z?Z1e2??z?32(??)?222?11.?e22??(2)2[z?(2??3)]?22(2)?22X?3~(N2??3,4?)1，故.

二、填空题

1．(X,Y)是二维连续型随机变量，用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示下列概率： (a?X?b,Y?c)?____________________;（1）p (X?a,Y?b)?____________________; （2）p(0?Y?a)?____________________; （3）p(X?a,Y?b)?____________________. （4）p解：F（b,c）-F(a,c); F(a,b); F(+?,a)-F(+?,0); F(+?,b)-F(a,b).

1/6. 2．随机变量(X,Y)的分布率如下表，则?,?应满足的条件是 ????

X Y 1 2

1 1/6 1/2 2 1/9 3 1/18 ? ? 3．设平面区域D由曲线

从均匀分布，则(X,Y)的联合分布密度函数为 .

y?120,x?1,x?ex及直线y?所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D上服

1/2,(x,y)?D?21ef(x,y)??S?dx?[ln|x|]2D1??0,(x,y)?D. 1x?解：，故

2e

22X,Y)~N(?,?,?,?,?)12124.设(，则X,Y相互独立当且仅当?? 0 .

5.设两个随机变量X与Y独立同分布，且P（X=-1）=P（Y=-1）=1/2，P（X=1）=P（Y=1）=1/2，则P（X=Y）= ；P（X+Y=0）= ；P（XY=1）= . 解：P（X=Y）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2; P（X+Y=0）= P（X=-1, Y=1）+ P（X=1, Y=-1）= P（X=-1）（Y=1）+ P（X=1）P（Y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2; P（XY=1）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.

k(6?x?y),0?x?2,2?y?4??f(x,y)???0,其它?三、设随机变量（X，Y）概率密度为

（1）确定常数k。 （2）求P {X<1, Y<3} （3）求P (X<1.5} （4）求P (X+Y≤4}

分析：利用P {(X, Y)∈G}=

f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy??GG?Do再化为累次积分，其中

?0?x?2,???D?(x,y)??o2?y?4????

解：（1）∵

1???????????f(x,y)dxdy?(6?x?y)dydxk???k8，∴

02211

3P(X?1,Y?3)?dx(6?x?y)dy?0288（2）

??1311.54127P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?dx(6?x?y)dy??0?2832（3） 24?x12P(X?Y?4)?dx(6?x?y)dy?0083（4）

??2?cxy,x2?y?1?f(x,y)???,其它?0四、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。

解: l=

??5124212f(x,y)dxdy?dycxydx?cydy?c?c?????0?y03214??????1?y2?

21?121224?xydy?x(1?x),?1?x?12?x4X~f(x)??8X?0,其它?

5??y21722?dydx?y0?y?1?Y~f(y)??y?Y42?0其它?

四、设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

?4.8y(2?x)0?x?1,0?y?x求边缘概率密度.?f(x,y)???0其它?

x?2??4.8y(2?x)dy?2.4x(2?x)0?x?1?0f(x)?f(x,y)dy??X???0其它?解：

??12?4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y)0?y?1??yf(y)?f(x,y)dx??Y????0其它?

??

五、设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密度为

?1y?e2,y?0fY(y)??2?0,y?0.?

2

（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

1,x?(0,1)??fX(x)????0,其它 解：（1）X的概率密度为

Y的概率密度为

且知X, Y相互独立，

于是（X，Y）的联合密度为

y??1?e20?x?1,y?0f(x,y)?f(x)f(y)??XY2?其它?0

2?4X?4Y?0（2）由于a有实跟根，从而判别式?

?1?y?e2,y?0fY(y)??2?0,y?0.?2?{(x,y)|0?x?1,0?y?x} 即：Y?X 记D

22??1x11222P(Y?X)?f(x,y)dxdy?dxedy??dxde?1?edx???????0002D

y2?1x200y2x?1?2??

edx?1?2?(?(1)??(2))?1?2?(0.8413?0.5)?2?

212x0?20?1?2.5066312?0.3413?1?0.8555?0.1445六、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：

(t?160)2fT(t)?12π?20e?2?202

{X?180}?F)?11180(t?160)2fX(1802?20???2?202dt令t?16020?u11e?u22du??(180?602????20)查表0.8413

设N=min{X1，X2，X3，X 4}

P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}

=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4

=0.00063

第四章 随机变量的数字特征

一、选择题

1．X为随机变量，E(X)??1,D(X)?3，则

E[3(X2)?20]=（ ）. A. 18 B.9 C.30 D. 32

答案：（D）

解：由于D(X)?E(X2)?[(EX)]2，所以E(X2)?D()X?[E()X]2?3?1?4，E[3(X2)?20]?E[3(X2)]?E(20)?3E[(X2)]?20?3?4?20?32.

2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

f(,xy)???e?(xy?),0??x???,0y????0,其它，则E(XY)?( ).

A. 0 B.1/2 C.2 D. 1

答案：（D） 解：

E(XY)????xyf(x,y)dxdy???xye?(x?y)dxdyx?[?e?xdx]2??????0?0?0?1

故(X,Y)?03. (X,Y)是二维随机向量,与Cov不等价的是( ).

(XY)?EX?EY(X?Y)?DX?DYA. E B. D

(X?Y)?DX?DYC. D D. X与Y独立

答案：（D）

ov(X,)Y?E(XY)?E(X)E(Y)ov(X,Y)?0?E(XY)?EX?EY解：C，故C； D(X?Y)??DXDY?2Cov(X,Y)ov(X,Y)?0?D(X?Y)?DX?DY，故C； D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)ov(X,Y)?0?D(X?Y)?DX?DY，故C；

Cov(,XY)?0???0XY，但不能说明X与Y独立.

(2X?3Y)?4. X,Y独立,且方差均存在,则D( ). …… 此处隐藏：1765字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……