概率统计练习册答案1(15)

2a?b(b?a)E(X)?,D(X)?22E(X)?D(X)?E(X)212[解]因为，所以

2na?b1b?a)a?b??2(X?,?X????i2n122?? i?1令

23n3n2???X??a(X)b?X??(X)2i?Xi?Xni?ni?11则，.

(?)??，8. E9. 数学期望E(X)；

???D(?)?D(?)； 12n1nE(X)E(X)??E(X)??E(X)inni?1 [解]

10.

?；

1nn?E(X)??E(X)???inni?1 [解].

111. 2(n?1)；

i?1 [解] ，所以

12. [14.754，15.146]；

[解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：

22??E[C(X?X)]?2C(n?1)??i?1i2n?1C?12(n?1)；

??[X?Z,X?Z??]22nn置信区间为：

1X?(14.6?15.1?14.9?14.8?15.2?15.1)?14.956由题得：

??0.05Z?1.96n?60.025

0.060.06[14.95??1.96,14.95??1.96]66代入即得： 14.754,15.146] 所以为：[13. [0.15，0.31]；

(n?1)S22??????22 [解] 由

1?2?2得：

(n?1)S2??2??22(n?1)S2???2?2，

1?2

所以?的置信区间为：[

(n?1)S2??2(11)2(n?1)S2?2?(11)，

1?2] ，

.2代入得 [0.15，0.31]. 将n?12，S?0

三、设X1，X1，?，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。

解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故λ?=X为矩估计量。

1λi??nλL(λ)?P(xλ)?ei;x!x!?x!12ni?1（2）极大似然估计

n?nxi?n，

lnL(λ)?xλ?lnx!?nλilnii?1i?1

?n?ndlnL(λ)i????1?n?0,解得λXdλλ为极大似然估计量。

xiλ?λp(x;λ)?P{X?x}?e,x0,1,?)iii?x!i（其中

x?i四、设总体X具有分布律

1 2 3 2 2θ2θ(1－θ) (1－θ) 其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

解：（1）求θ的矩估计值

22E(X)?1?θ?2?2θ(1?θ)?3(1?θ)?[θ?3(1?θ)][θ?(1?θ)]?3?2θ

X Pk E(X)?3?2θ?X 令

1?2?13??X3?5??3θ?226 则得到θ的矩估计值为

（2）求θ的最大似然估计值

L(θ)?P{Xx}?P{X?1}P{X?2}P{X?1}i?i123i?1似然函数

?θ2?2θ(1?θ)?θ2θ5(1?θ) ?2ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ)

dlnL(θ)51???0dθ61?θ求导

?35θ??6 得到唯一解为

五、设X1，X2， X3， X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量

11T?(X?X)?(X?X)1126334 T?(X?2X?3X?4X)521234 (X?X?X?X)T?123434

（1）指出T1，T2， T3哪几个是θ的无偏估计量； （2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。 解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以

E (Xi )= θ, D (Xi )= θ 2, i=1,2,3,4 由数学期望的性质2°，3°有

11E(T)?[E(X)?E(X)]?[E(X)?E(X)]?θ1124633 1E(T)?[E(X)?2E(X)?3E(X)?4E(X)]?2θ223451 1E(T)?[E(X)?E(X)?E(X)?E(X)]?θ323441

即T1，T2是θ的无偏估计量

（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2， X3， X4独立，知

1152D(T)?[D(X)?D(X)]?[D(X)?D(X)]?θ1123436918 112D(T)?[D(X)?D(X)?D(X)?D(X)]?θ21234164

D (T1)> D (T2) 所以T2较为有效。 六、 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3

2

5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N ~（μ，σ），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。

σX?zαn2）解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（，

0.6X?6.0,查表z?1.96,σ?0.6,即为(6.0??1.96)?(5.608,6.392)0.0259计算得 SX?tα(n?1)n2（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（），计算得X?6.0，查表

t0.025(8)=2.3060.

910.3321S?(x?x)??2.64?0.33.故为(6.0??2.3060)?(5.558,6.442)?i883i?1 2

第八章 假设检验

一、选择题

22X,X,?,XH:???X~N(?,?),?n0,要采用检验1. 设总体未知,通过样本12检验假设0估计量( ).

X??0

A. ?/X??0X??X??n B. S/n C. S/n D. ?/n 2X,X,?,X100N(?,12),检验H12n0:??2. 样本来自总体,采用统计量( ).

X?? A. 12/X?100X?100X??n B. 12/n C. S/n?1 D. S/n

22X,X,?,XH:???X~N(?,?),?n0,此问题拒绝3. 设总体未知,通过样本12检验假设0域形式为 .

?C}S/10 A.S/10 B. S/n C. D. {X?C}

2X,X,?,X100N(?,3)的样本，对于H12n0:??4．设为来自总体检验的拒绝域可以形

{?C}X?100{X?100?C}{X?100如（ ）.

A．

{X???C} B.

{X?100?C}{ C.

X?100S/n?C} D.

{X?100?C}

22H:??100?N(?,?)5. 样本来自正态总体,未知,要检验0,则采用统计量为( ).

nS(n?1)S2(n?1)S2X??n?2 A. B. 100 C. 100 D. 1002H100?N(?,?2)0:??6. 设总体分布为

,若

已知,则要检验

2

,应采用统计量( ).

(n?1)S2?2 A. S/n B. C.

X,X,?,XN(?,?2)12n7. 设

为来自总体

X???(Xi?1n2i??) D.

?(Xi?1n2i?X)

1001002H:??100?0的样本, 若未知, ，

2H00,a?0.05, 关于此检验问题, 下列不正确的是( ). 1:??1?(Xi?1ni?X)2

A. 检验统计量为

100(n?1)S22~x(n?1)H0100 B. 在成立时,

C. 拒绝域不是双边的

D. 拒绝域可以形如

{(Xi?X)2?k}?i?1n

2X,X,?,XN(10,?)的样本, 针对 12n设是来自总体22H:??100， H:??10001 ,

a?0.05，关于此检验问题, 下列不正确的是( ).

A. 若设W为拒绝域,则

2P{X,X,,X)?W??100}0.0512n?恒成立

(n?1)S2 B. 检验统计量取作100

?n?2(X?10)????i?1i??C??100?????的形状 C. 拒绝域可取为??(XHi?1ni?10)22100 D. 在0成立时, 服从x(n)分布

答：

1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.B 8.D

二、填空题

1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称

量,得如下结果: 99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.3

99.7 99.5 102.1 100.5, 99.2

假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,为 . 2．设样本

H0X,X,?,X1225X??0?k(?,9),?未知.对于检验来自总体NH?0:??0，

H1:???0，

取拒绝域形如

.05，若取a?0，则k值为 .

答：1.??100 2. 1.176

三、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.

2 2

解：设测定值总体X～N（μ，σ），μ，σ均未知

步骤：（1）提出假设检验H0：μ=3.25; H1：μ≠3.25

t?（2）选取检验统计量为（3）H0X?3.25~t(n?1)Sn

tα(n?1).的拒绝域为| t |≥2

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