概率统计练习册答案1(6)

aF()??bF()??a?b?112，只有选型A满足条件.

质，在这里利用F(?)?1这一性质可以得到

2.设随机变量

X?101????i?X1,2)且P{XX0}?1,i~111(12????424?的分布为则

C.1/2

D.1

PX{1?X}?2( ).

A.0

答案：（A） 解：由

B.1/4

P{XX0}?1P{XX?0}?1?P{XX?0}?012?1212可知，故

P{X??1,X??1}?P{X??1,XP?1}?{X?1,X??1}?P{X?1,X?1}?012121212?P{X??1,X??1}?P{X??1,X?1}?P{X?1,X??1}?P{X?1,X?1}?012121212又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知：

1?P{X??1}?P{X??1,X??1}?P{X??1,X??0}P{X??1,X?1}112121241?P{X??1,X??0}124

1?P{X??1}P{X?1,X???1}P{X?1,X?0}?P{X?1,X?1}112121241?P{X?1,X?0}?124

1?P{X?0}?P{X??1,X?0}?P{X?0,X?0}?P{X?1,X?0}212121221?P{X?0,X?0}??P{X??1,X?0}?P{X?1,X?0}0?1212122

P{X?X}?P{X??1,X??1}?P{X?1,X?1}?P{X?0,X?0}?012121212故.

3.下列叙述中错误的是( ).

A.联合分布决定边缘分布 B.边缘分布不能决定决定联合分布

C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同 D.边缘分布之积即为联合分布 答案：（D）

解：联合分布可以唯一确定边缘分布，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量X与Y是相互独立的，则由X与Y的边缘分布可以唯一确定X与Y的联合分布.

4.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ).

11P{Xi?,Y?j}?,,ij?1,2,6P{X?Y}?3636 A. B.

P{X?Y}? C.

答案：（A）

12

P{X?Y}?

D.

12

解：由问题的实际意义可知，随机事件{X?i}与{Y?j}相互独立，故

111P{X?i,Y?j}{?PX?i}P{Y?j}??,i,j?1,2,611CC3666；

11{X?Y}{?X?k,Y?kP}{?X?Y}?P{X?k,Y?k}??6???366k?1k?1；

15P{XY?}1??P{XY?}1???66；

66{X?Y}??{XY}?{X?Y}，

而事件{X?Y}又可以分解为15个两两不相容的事件之和，即

{X?Y}?{X?k,Y?k?1}?{X?k,Y?k?2}??{X?k,Y?6},k?1,2,3,4,5故

151517P{X?Y}??P{X?Y}??P{XY}?P{X?Y}???3636612.

22N(?,?,?,?,?)12125.设(X,Y)服从二维正态分布,则以下错误的是( ). 2X~N(?,?)11A.

2X~N(?,?12)B.

C.若??0,则X,Y独立

22S~N(,),T~N(,)1122D.若随机变量则(S,T)不一定服从二维正态分布

????答案：（B） 解：当

22(X,)YN(,,1,2,)12?????~N(?,?)，Y~N(?,?)，且X和Y相互独时，X121222立的充要条件是??0；单由关于S和关于T的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的.

22X~N(,),Y~N(,)11226.若,且X,Y相互独立,则( ).

????222X?Y~N(?,(?))X?Y~N(???,???)12121212A. B.

2222X?2Y~N(?2,?4)2X?Y~N(2?,2?)12121212C. D.

????????????答案：（C）

22T~N(??,)S??T~N(??,?)解：（方法1）首先证明一个结论，若，则.证明过程如下（这

里采用分布函数法来求S??T的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论（5.2）式）：由于

F(s)?P{S?s}?P{?T?s}?P{T??s}?1?P{T??s}?1?P{T??s}?1?F(?s),ST故

2?((s???))?1?122?fs()??f()?s?(?1)?f()?s?e?e,STT22这表明?T也服从正态

2S??T~N(??,?)分布，且.

??2(?s?)?22??2?Y~N(??,?).再利用结论：若X1与X22所以这里222X~N(?,?),i?1,2XXN?~(???,???)iii1212，则12.便可得出

2相互独立，且

????2X?Y?X?(X?Y)~N(2???,4???).

22X?2Y?(X?Y)?Y~N(?2,?4)1212;

2212122X~N(,),i?1,2,,niii布，且若，则

2222X?YN~(???,???)X?YN~(???,???)12121212；；

（方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分

??22Y?kN(k?k???iXi~ii,i?i)i?1i?1i?122122；

221nnn2X?YN~(???,???)X?YN~(???,???)112故；

222X?Y~N(2???,4???)X?2Y~N(?2,?4)12121212;.

22????

)，且X,Y相互独立,记Z(?3,1)，Y~N(2,1?X?2Y?7, 7.已知X~N则Z~( ).

) C.N(0,54) D.N(?1,2) A.N(0,5) B.N(0,12答案：（A）

X?3Z??(X?3)~N(0,1)1Y~N(2,1)X~N(?3,1)1解：由于，，所以，

Y?2Z??(Y?2)N(0,1)22Z??2Z??2(Y?2)(N0,(?2)?1)(?N0,4)321，故，而

Z?Z1?Z3

,5). ，所以Z~N(0??Csin(x?y),0?xy,?,?(X,Y)~f(,xy)?4??0,其他?8.已知则C的值为( ).

21 A.2 B.2 C.2?1 D.2?1

答案：（D）

解：由联合概率密度函数的规范性知

???4?4?41?f(,xy)dxdy?Cdxsin(x?y)dy?C[cosx?cos(x?)]dx?????4????000?4?C[sinx?sin(x?)]???1C2?10?24??.

?21x?xy,0?x?1,0?y?2?(X,Y)~f(x,y)??3?0,其他{X?Y?1}?9.设,则P=( )

657171 A.72 B.72 C.72 D.72

答案：（A） 解：

P{X?Y?1}??xy)dxdy?f(,x??y11212

15653421?dx(x?xy)dy?(x?x?x)dx????36327201?x0.

?(2x?3y)?Ae,x,y?0f(x,y)??0,其他?10.为使为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A必为( ).

A.0 B.6 C.10 D.16

答案：（Ｂ）

解：由联合概率密度函数的规范性知

AA?2x?3y1?f(x,y)dxdy?Adxedy?ed(?2x)ed(?3y)??A?6.??????66????0000

???????(2x?3y)????12.设,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶

点的三角形内取值的概率为( ).

A. 0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 答案：（C）

解：用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用G表示矩形域

32?,0?x?2,0?y?1?xy(X,Y)~f(x,y)?2??0,其他?[0??x2,0??y1]，则所求的概率为