线性代数习题集(6)

1?2??1?21??? 1) A??? 2) A???1?31?

?12???20?1???2. 已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为

(0,0,1)T,(?1,1,0)T,(?2,1,1)T,求矩阵A.

?2?12??1?????a3?，有一个特征向量???1?，求a,b的值，并求出对应于?的3. 设A??5??1b?2???1?????特征值。

?33?1??1?????4. 设A??t?22?，有一个特征向量????2?，求s,t的值。

?3s?1??3?????5. 设三阶矩阵A的特征值为-1,2,5，矩阵B?3A?A，求 （1）B的特征值；

（2）B可否对角化，若可对角化求出与B相似的对角阵； （3）求B,A?3E.

四、证明题

1. 设A是非奇异阵, ?是A的任一特征根,求证的特征向量也是A关于

2?121?是A的一个特征根,并且A关于??11?的特征向量.

2. 设A?E,求证A的特征根只能是?1.

3. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.

第五章 二次型

一、单项选择题

1．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（ ）。

(a)A?0 (b)存在阶阵C，使A?CTC

(c)负惯性指数为零 (d) 各阶顺序主子式为正

21

2．方阵A正定的充要条件是（ ）。

(a)A 的各阶顺序主子式为正； (b) A?1是正定阵； (c)A的所有特征值均大于零； (d)AAT 是正定阵。

3．下列f(x,y,z)为二次型的是（ ）。

(a)ax2?by2?cz2 (b) ax?by2?cz (c)axy?byz?cxz?dxyz (d) ax2?bxy?czx2

4．下列矩阵中，不是二次型矩阵的为（ ） ．．

?000???(a).?000?

?00?1???

?100???(b)?0?10?

?002????30?2???(c)?046?

??265???

?123???(d) ?456?

?789???5．下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） (a)?23??? ?34??34?(b) ??

?26??100???(c) ?02?3?

???0?35?(d)?111????120? ???102?二、填空题

21. 二次型f(x1,x2,x3,)?x1x2?2x2x3?x3的秩为 。 222．二次型f(x1,x2)?x1的矩阵为 。 x2?6x1x2?3x2?104???T3． 设A??220?，则二次型f?XAX的矩阵为 。

?003???2224．若f(x1,x2,x3)?2x1?x2?x3?2x1x2?tx2x3正定，则t的取值范围是 。

?110???5．设A??1a0?是正定矩阵，则a满足条件 。

?00a2???22

6．二次型(x1,x2)?

?13??x1???x?的矩阵为 。 ?12??2?第二部分 历年期末试题

一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 本题 得分 1、 设n阶方阵A与B等价，则必有 （ ） (A) 当A?a(a?0)时，B?a (B) 当A?a(a?0)时，B??a (C) 当A?0时，B?0 (D) 当A?0时，B?0

2、设A,B为同阶可逆矩阵，则 （ ） (A) 矩阵A与B等价 (B) 矩阵A与B相似 (C) 矩阵A与B合同 (D) 矩阵A与B可交换 3、向量组Ⅰ：?1,?2,,?r；可由向量组Ⅱ：?1,?2,,?s线性表示，则（ ）

(A) 当r?s时，向量组Ⅱ必线性相关 (B) 当r?s时，向量组Ⅰ必线性相关 (C) 当r?s时，向量组Ⅰ必线性相关 (D) 当r?s时，向量组Ⅱ必线性相关

4、已知?1和?2是非奇次线性方程组Ax?b的两个不同的解，?1,?2是对应导出组的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax?b的通解（一般解）为（ ） (A) k1?1?k2(?1??2)??1??222???2???2 (C) k1?1?k2(?1??2)?1 (D) k1?1?k2(?1??2)?1

22

23

(B) k1?1?k2(?1??2)??1??2

?110???5、若方阵C??101?，则C的特征值为 （ ）

?011???(A) 1，0，1 (B) 1，1，2 (C) -1，1，2 （D）-1，1，1 本题 得分 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）