线性代数习题集(2)

??100????10?3?? （a）?010?? (b)

?010?

??301????001????00?3??00?010??1??010?(c) ????101? (d)

???0?31? ??A??131?10.已知?220????311?，则（ ）。

? (a)

AT?A (b)

A?1?A*

??100???113?（c）

A?001?????202???010????311? ???100??11?001??A??3??202?（d）

???010????311? ?11.设

A,B,C,I为同阶方阵，

I为单位矩阵，若

ABC?I，则（ b （a）ACB?I （b）CAB?I

6

。）

（c）12.

A，B为n阶非零矩阵，且AB?0，则秩(A)和秩(B)( c )。

CBA?I （d）BAC?I

(a)有一个等于零 (b)都为n

(c)都小于n (d)一个小于n，一个等于n 13.n阶方阵A可逆的充分必要条件是( b )。

(a)r(A)?r?n (b) A的列秩为n

(c) A的每一个行向量都是非零向量 (d)伴随矩阵存在 14.n阶矩阵A可逆的充要条件是( d )。 (a) A的每个行向量都是非零向量 (b) A中任意两个行向量都不成比例

(c) A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示

(d)对任何n维非零向量X，均有AX?0

二、填空题

21.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A?I,则行列式A??1

02.行列式?aab0c?_______ ?b?c0**3.设A为5阶方阵，A是其伴随矩阵，且A?3，则A?81

4.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A的秩为0

5.设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X，均有AX?0，则A的秩为_______ 三、计算题

1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).

* 7

?101???AX?A2?X?I,其中A??020?

?101???；

?1?10???1?,求(A?2I)(A2?4I)?1. 2.已知A??02?10?1???3.求非奇异矩阵P,使PAP为对角阵.

?11?2??1?21???A??1?31 1) A?? 2) ????12???20?1???

四、证明题

1. 设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆.

k2. 设A?0(k为整数), 求证I?A可逆.

3.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

4.设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A?2A?4E?0。试证：A?3E可逆，并求

2(A?3E)?1。

第三章

一、单项选择题 1.

?1,?2,?3， ?1,?2都是四维列向量，且四阶行列式

?1?2?3?1?m,?1?2?3?2?n,则行列式

?1?2?3?1??2?()

(a)m?n (b)m?n (c)?m?n (d)?m?n

8

2. 设A为n阶方阵，且A?0,则（ ）。

(a)A中两行（列）对应元素成比例

(b)A中任意一行为其它行的线性组合 (c)A中至少有一行元素全为零 (d)A中必有一行为其它行的线性组合

3. 设A为n阶方阵，r(A)?r?n，则在A的n个行向量中（ (a)必有r个行向量线性无 关(b)任意r个行向量线性无关

(c)任意r个行向量都构成极大线性无关组

(d)任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示

4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是（ ）

(a)r(A)?r?n

(b)A的列秩为n

（c）A的每一个行向量都是非零向量 （d）A的伴随矩阵存在

5. n维向量组?1,?2,??,?s线性无关的充分条件是( )

(a)?1,?2,??,?s都不是零向量

(b)?1,?2,??,?s中任一向量均不能由其它向量线性表示 (c)?1,?2,??,?s中任意两个向量都不成比例

）。

9

(d)?1,?2,??,?s中有一个部分组线性无关

6. n维向量组?1,?2,??,?s(s?2)线性相关的充要条件是( )

(a)?1,?2,??,?s中至少有一个零向量

(b)?1,?2,??,?s中至少有两个向量成比例 (c)?1,?2,??,?s中任意两个向量不成比例

(d)?1,?2,??,?s中至少有一向量可由其它向量线性表示

7. 设?1,?2,??,?s均为n维向量,那么下列结论正确的是( )

(a)若k1?1?k2?2???ks?s?0,则?1,?2,??,?s线性相关

(b)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,??,ks,都有k1?1?k2?2???ks?s?0,

则?1,?2,??,?s线性无关

(c)若?1,?2,??,?s线性相关,则对任意不全为零的数k1,k2,??,ks,都有

k1?1?k2?2???ks?s?0

(d)若0?1?0?2???0?s?0,则?1,?2,??,?s线性无关

8. 若向量?可被向量组?1,?2,??,?s线性表示，则（ ）

(a)存在一组不全为零的数k1,k2,??,ks使得??k1?1?k2?2???ks?s (b)存在一组全为零的数k1,k2,??,ks使得??k1?1?k2?2???ks?s (c)存在一组数k1,k2,??,ks使得??k1?1?k2?2???ks?s (d)对?的表达式唯一

9. 下列说法正确的是（ ） 10