线性代数习题集(11)

???100100???00100??????11?01001001?0? ?20? ??????02?????0030?921??????0010?31?23??????100??所以

?(AB)?1??0120? ………8分 ??????31??023???（2）方法二：

??100??100??????100???(AB)?1?B?1A?1???010???010?????1?0?31?????2?020???1?1??003????3?0?23?? ………8分

3、解：方法一：由A?2B?AB, 得到A(E?B)??2B，……2分

?0?2010?0 (E?B,E)???1?1001?

??00?200?0??1

??100?110??2???1??010?00? ……5分 ?2????1?00100?2??? 41

?3?20???所以，E?B可逆，A??2B(E?B)?1=?120?. ……8分

?003???方法二：由A?2B?AB, 得到A(E?B)??2B， ……2分 用初等列变换求A

?0??1?E?B??0?????2B????2?2??0?0??10???10??01?000?2?? ? ??40??3?2?12?40????000?6????20??0?1?? 0?0??3?? ……6分

?3?20???所以， A??120?. ……8分

?003????a0b???4、 解：二次型的矩阵A??020? 根据题意得到

?b0?2???a?2?(?2)?1,?4a?2b2??12 a?1,b?2 ………4分

22f=x12?2x2?2x3?4x1x3?(x1?2x3)2?2x22?6x32

?y1?x1?2x3?令 ?y2?x2 ，标准形为y12?2y22?6y32. ………8分

?y?x33?四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分）

21、解： A????1442

?11?(??1)(5??4) 由克莱姆法则

5?5

当??1且???当???4时，方程组有唯一解； ……2分 54时 5??2?4r(A,b)????5?4????45?11?5?15?1??10??2????????4??0???1????4?50?5505??10? 9??有r(A)?r(A,b)，所以方程组无解； ……4分 当??1时

?2?r(A,b)??1?4?1?1?115?51??1??2???????0?0?1???0101???1?1? 00??0有r(A)?r(A,b)?2?3，方程组有无穷多组解，原方程组等价于方程组为

?x1?1 ?x?x??1?23取x3?0，得到特解??(1,?1,0)T 令x3?1，代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为

??(1,0,1)T

方程组的全部解为

x???k? 其中k为任意常数 ……10分

2、解：初等行变换矩阵(?1,?2,?3,?4,?5)到行最简梯矩阵为

43

?17? (?,?,?,?,?)??3012345?214??03?2?10151622???1?4??1????1??? ?0??0?0?231103011000001???3?1? 3??0?0?? ……6分

可得向量组的秩为3，

向量组的一个极大无关组为?1,?2,?3，且

?4??1??2??3,?5???1??2 ……10分

3、解：A的特征多项式为

23131313??1?E?A??2?2?2?2?2?(??5)(??1)2 ………3分

??1?2??1得到矩阵A的全部特征值为?1??2??1,?3?5 当?1??2??1时，由(?E?A)x?0得一个基础解系

?1?(?1,1,0)T,?2?(?1,0,1)T

正交化,单位化?1?(?666T11,?,) ,,0)T，?2?(?66322当?3?5时，由(5E?A)x?0的一个基础解 将其单位化得?3?(因此A能对角化

?3?(1,1,1)T

111T,,) ………8分 33344

?1???2?1且正交阵P?(?1,?2,?3)???2??0????6666631??3?1?，使P?1AP??， ?3??1?3????100???相应的对角阵为 ???0?10? ……10分

?005???五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分） 1、证明： 因为 A????, 有

(A5?4A3?E)??A5??4A3???????4?????(??4??1)?根据特征值和特征向量的定义得?也是A55353

?4A3?E的特征向量.

则??,? 线性相关，

可以由?,? ………4分 2、证明：由?,?,?线性无关，得到?,?线性无关，又?,线性表示，所以?必可由?,?,?线性表示.

………4分

一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分）

a111. 若行列式a21a12a22a32a13a212a222a122a323a233a13等于 ( ) 3a3345

a31

a23?d，则a11a33a31