线性代数习题集(4)

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?4?(1,?1,?2,0)T，?5?(3,0,7,14)T的一个极大线性无关组，并

将其余向量用该极大无关组线性表示。

?1???1解：(?1,?2,?3,?4,?5)??0??4?2156113??1??2?10??0?5?27??0???2014???00?111000002??01? ?1?1?00???1,?2,?4为一个极大无关组，且?3???1??2?0?4, ?5?2?1??2??4

4. 设?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(1,3,t)T，t为何值时?1,?2,?3线性相关，

t为何值时?1,?2,?3线性无关？

111解：?1,?2,?3?123?t?5，

13t当t?5时?1,?2,?3线性相关，当t?5时?1,?2,?3线性无关。

四、证明题

1. 设?1??1??2,?2?3?2??1,?3?2?1??2，试证?1,?2,?3线性相关。 .证：∵3(?1??2)?4(2?1??3)?0

∴?5?1?3?2?4?3?0 ∴?1,?2,?3线性相关

2. 设?1,?2,??,?s,?线性相关，而?1,?2,??,?s线性无关，证明?能由

?1,?2,??,?s线性表示且表示式唯一。

证：∵?1,?2,??,?s,?线性相关 14

∴存在不全为零的数k1,k2,??,ks,k使得k1?1?k2?2????ks?s?k??0

若k?0，则k1?1?k2?2????ks?s?0，（k1,k2,??,ks不全为零） 与?1,?2,??,?s线性无关矛盾 所以k?0 于是???k1kk??k21k?2????sk?s ∴?能由?1,?2,??,?s线性表示。 设??k1?1?k2?2????ks?s ①

??l1?1?l2?2????ls?s ②

则①-②得(k1?l1)?1?(k2?l2)?2????(ks?ls)?s?0 ∵?1,?2,??,?s线性无关 ∴ki?li?0,(i?1,2,?,s)

∴ki?li,(i?1,2,?,s) 即表示法唯一

3. 设?1,?2,?3线性相关，?2,?3,?4线性无关，求证?4不能由?1,?2,?3线性表示。证：假设?4能由?1,?2,?3线性表示

∵?2,?3,?4线性无关，∴?2,?3线性无关

∵?1,?2,?3线性相关，∴?1可由?2,?3线性表示， ∴

?4能由?2,?3线性表示，从而?2,?3,?4线性相关，矛盾

∴?4不能由?1,?2,?3线性表示。

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