线性代数习题集(10)

所以 k1?1?k2?2不是A的特征向量. ………4分 2、证明：由?1,?2,,?s线性相关，根据定义，存在不全为0的k1,k2,，

用

矩

阵

,ks，使得

边

得

到

k1?1?k2?2??ks?s?0A左乘等号两

Ak1?1?Ak2?2??Aks?s?k1A?1?k2A?2??ksA?s?0

ki不全为0，根据线性相关的定义

得到向量组k1?1,k2?2,,ks?s线性相关. ………4分

本题 得分 1 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）

?1x?11.在 f(x)?1x?11展开式中，x2的系数为 （ x?1?11 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A是m×n矩阵，r(A)?r,B是m阶可逆矩阵，C是m阶不可逆矩阵，且

r(C)?r，则 （ ） (A) BAX?O的基础解系由n-m个向量组成 (B) BAX?O的基础解系由n-r个向量组成 (C) CAX?O的基础解系由n-m个向量组成 (D) CAX?O的基础解系由n-r个向量组成

3.设n阶矩阵A,B有共同的特征值，且各自有n个线性无关的特征向量，则（ (A)

A?B (B) A?B,但A?B?0

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）

）

(C)

AB (D) A与B不一定相似，但

A?B

4.设A,B,C均为n阶矩阵，且AB?BC?CA?E，其中E为n阶单位阵，则

A2?B2?C2? （ ）

(A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设A???10??10?,B????，则A与B （ ） 0203????(A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D）既不合同，又不相似

二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 本题 得分 a11．已知a2a3 b1b2b3020c12a1c2?m?0，则2a2c32a3b1?c1b2?c2b3?c33c13c2? 。 3c3?12．设

A???0?1?1?2，若三阶矩阵Q满足AQ?E?A?Q,则Q的第一行的行向量?0?1??T是 。

3．已知?为n维单位列向量，?为?的转置，若C4．设?1,?2分别是属于实对称矩阵

???T ，则C2? 。A的两个互异特征值?1,?2的特征向量，则

?

5．设A是四阶矩阵，A为其伴随矩阵，?1,?2是齐次方程组AX?0的两个线性无关解，

?1T?2? 。

?则r(A)? 。

6．向量组?1?(1,3,0,5,0)T,?2?(0,2,4,6,0)T,?3?(0,3,0,6,9)T的线性关系

是 。

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?x1?2x2?2x3?0?7．已知三阶非零矩阵B的每一列都是方程组?2x1?x2??x3?0的解，则

?3x?x?x?023?1?? 。

TTT8．已知三维向量空间R3的基底为?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1)，则向量

??(2,0,0)T在此基底下的坐标是 。

?211???9．设A??121??112???10．二次型

本题 得分 ?100???0a0??,则a? 。 ?004???2f(x1,x2,x3)?2x12?2x2?2x32?2x1x2?2x1x3?2x2x3的秩为 。

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）

ab1．试求行列式D?b1bab2bba3bb的第四行元素的代数余子式之和. b4?100??100??????1.

2.设A?020,B?010, 求(AB)?????003??031?????

?120???3．设n阶方阵A,B满足A?2B?AB，已知B???120?，求矩阵A.

?003???4．设二次型

222f(x1,x2,x3)?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)中，二次型的矩阵

（2）用配方法化该二次型为标A的特征值之和为1，特征值之积为-12 .（1）求a,b的值；38

准形.

本题 得分 四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）

1．当?为何值时，方程组

?2x1??x2?x3?1???x1?x2?x3?2 ?4x?5x?5x??123?1无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解. 2已知向量组

?1?(1,3,2,0)T，

?2?(7,0,14,3)T ，

?3?(2,?1,0,1)T，

?4?(5,1,6,2)T,?5?(2,?1,4,1)T，（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大

无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.

?122???3．已知矩阵A?212；判断A能否对角化，若可对角化，求正交矩阵P，???221???使P?1AP为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵。

E的特

五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分） 本题 得分 531．设?是n阶矩阵A的属于特征值?的特征向量.证明：?也是A?4A? 征向量. 其中E为n阶单位矩阵. 2. 设n维向量组?,?,?线性无关，向量组?,?,? 线性相关，证明：?必可由

?,?,?线性表示.

《线性代数》（A卷）答案要点及评分标准

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一．选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1．A； 2．B； 3．C； 4．D； 5．C.

二．填空题（共10小题，每题2分，共计20分）

1．6m； 2．(2,0,1)； 3．??； 4．0； 5．0； 6．线性无关； 7． 1； 8． 1,1,-1； 9． 1； 10． 2. 三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）

1、解：

TaA41?A42?A43?A44?bb1bab1bba1bbb ………4分 1ab?ab?ab?aba?b00??(a?b)3 ………8分

b0a?b01000?1?2、解：方法一：AB?0??0?0200??1??00????03??013?0??0?????1???1000?02?? 09??3………2分

(AB?10010?0??E)??02001? 0?09300?1??40