线性代数习题集(5)

4. 证明：向量组?1,?2,??,?s(s?2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。 证：必要性

设向量组?1,?2,??,?s线性相关

则存在不全为零的数k1,k2,??,ks,使得k1?1?k2?2????ks?s?0

不妨设ks?0，则?s??kk1k?1?2?2????s?1?s?1， ksksks即至少有一个向量是其余向量的线性组合。

充分性

设向量组?1,?2,??,?s中至少有一个向量是其余向量的线性组合 不妨设?s?k1?1?k2?2????ks?1?s?1 则k1?1?k2?2????ks?1?s?1??s?0， 所以?1,?2,??,?s线性相关。

第四章 线性方程组

一、单项选择题

1．设n元齐次线性方程组AX?0的系数矩阵的秩为r，则AX?0有非零解的充分必要条

件是（ ）

(A) r?n (B) r?n

(C) r?n (D) r?n

2．设A是m?n矩阵，则线性方程组AX?b有无穷解的充要条件是（ ）

(A) r(A)?m (B) r(A)?n (C) r(Ab)?r(A)?m (D) r(Ab)?r(A)?n

3．设A是m?n矩阵，非齐次线性方程组AX?b的导出组为AX?0，若m?n，则（ ）

(A) AX?b必有无穷多解 (B) AX?b必有唯一解 (C) AX?0必有非零解 (D) AX?0必有唯一解

4． 已知?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解，?1,?2是导出组AX?0的

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基本解系，k1,k2为任意常数，则AX?b的通解是（ ） (A) k1?1?k2(?1??2)??1??222???2???2 (C) k1?1?k2(?1??2)?1 (D) k1?1?k2(?1??2)?1

225．设A为m?n矩阵，则下列结论正确的是（ ）

(A) 若AX?0仅有零解 ，则AX?b有唯一解 (B) 若AX?0有非零解 ，则AX?b有无穷多解 (C) 若AX?b有无穷多解 ，则AX?0仅有零解 (D) 若AX?b有无穷多解 ，则AX?0有非零解

6．设A为m?n矩阵，齐次线性方程组AX?0仅有零解的充要条件为（ ）

(A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关

二、填空题

(B) k1?1?k2(?1??2)??1??2

1. 设A为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X，均有AX?0，则A的秩为 . ?kx1?2x2?x3?0?2. 线性方程组?2x1?kx2?0仅有零解的充分必要条件是 .

?x?x?x?0?1233. 设X1,X2,（c1,c2,Xs和c1X1?c2X2?，则c1?c2?cs为常数）

?csXs均为非齐次线性方程组AX?b的解?cs? . 4. 若线性方程组Am?nX?b的系数矩阵的秩为m，则其增广矩阵的秩为 . 5. 设10?15矩阵的秩为8，则AX?0的解向量组的秩为 . 1??12?1??x1???????6. 设A??23a?2?,b??3?,x??x2?，若齐次线性方程组AX?0只有零解，则

?1a?2??0??x??????3?a? .

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1??12?1??x1???????7. 设A??23a?2?,b??3?,x??x2?，若线性方程组AX?b无解，则a? .

?1a?2??0??x??????3?8. 设5?4矩阵A的秩为3，?1,?2,?3是非齐次线性方程组AX?b的三个不同的解向量，

TT若?1??2?2?3?(2,0,0,0)，则AX?b的通解为 . ,3?1??2?(2,4,6,8)9. 设A为m?n矩阵，r(A)?r?min(m,n)，则AX?0有 个解，有 个线性无关

的解. 三、计算题

1. 设四元齐次线性方程组为 （Ι）：?求（Ι）的一个基础解系

2. 问a,b为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）。

?x1?x2?0

?x2?x4?0?x1?ax2?x3?a?x1?x2?bx3?4??21）?ax1?x2?x3?1 2）??x1?bx2?x3?b

?x?x?ax?a2?x?x?2x??433?12?123. 求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为

?x1? ?x2?x?3

???????1?1???3?????c1????1?3??2?2???????c?3.?(c1为,c2任意实数 )?2????1???第四章

一、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( )。

?100???18

(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2

?2. 设A??110??101???,则A的特征值是( )。

?011??(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1 3. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( )。

(a) A?B (b) |A|?|B| (c) A与B相似 (d) A与B合同 4. 设A为n阶可逆矩阵, ?是A的特征值,则A*

的特征根之一是( )。 (a) ??1|A|n (b) ??1|A| (c) ?|A| (d) ?|A|n

5. 设2是非奇异阵A的一个特征值,则(1A2)?13至少有一个特征值等于( )。(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/4 6. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ ）。

(a)线性相关 (b)线性无关 (c)两两相交 (d)其和仍是特征向量 7. |A|?|B|是n阶矩阵A与B相似的( C )。

(a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件 8. n阶方阵A有n个不同的特征根是A与对角阵相似的( b )。 (a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件

?1?9. 设矩阵A??1???1??000????与B???010??相似,则?,?的值分别为( )。?1?1????002??(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 10. 设A,B为相似的n阶方阵,则( a )。

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(a)存在非奇异阵P,使PAP?B (b)存在对角阵D,使A与B都相似于D (c)存在非奇异阵P,使PAP?B (d)A与B有相同的特征向量

11. 若n阶方阵A与某对角阵相似,则( a )。

(a) r(A)?n (b) A有n个不同的特征值 (c) A有n个线性无关的特征向量 (d) A必为对称阵 12. 若A相似于B,则( b )。

(a) ?I?A??I?B (b) |?I?A|?|?I?B| (c) A及B与同一对角阵相似 (d) A和B有相同的伴随矩阵

二、填空题

1. n阶零矩阵的全部特征值为_______。 2. 设

T?1A为n阶方阵，且A2?I，则A的全部特征值为_______。

m3. 设A为n阶方阵，且A?0(m是自然数)，则A的特征值为_______。 4. 若A?A，则A的全部特征值为_______。

5. 若方阵A与4I相似，则A?_______。

6. 若n阶矩阵A有n个相应于特征值?的线性无关的特征向量，则A?_______。

27. 设三阶矩阵A的特征值分别为-1,0,2,则行列式A?A?I? 。

28. 设二阶矩阵A满足A?3A?2E?O，则A的特征值为 。 9. 特征值全为1的正交阵必是 阵。 10. 若四阶矩阵A与B相似，A的特征值为

三、计算题

1. 求非奇异矩阵P,使PAP为对角阵.

?121111,,,，则B?1?E= 。 234520