线性代数习题集(3)

(a)若有不全为零的数k1,k2,??,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则

?1,?2,??,?s线性无关

(b)若有不全为零的数k1,k2,??,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则

?1,?2,??,?s线性无关

(c)若?1,?2,??,?s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 (d)任何n?1个n维向量必线性相关

10. 设?是向量组?1?(1,0,0)T，?2?(0,1,0)T的线性组合，则?=（ ）

(a)(0,3,0)T (b)(2,0,1)T (c)(0,0,1)T (d)(0,2,1)T

二、填空题

1. 若?1?(1,1,1)T，?2?(1,则t=▁▁▁▁。 2,3)T，?3?(1,3,t)T线性相关，

2. n维零向量一定线性▁▁▁▁关。

3. 向量?线性无关的充要条件是▁▁▁▁。

4. 若?1,?2,?3线性相关，则?1,?2,??,?s(s?3)线性▁▁▁▁关。 5. n维单位向量组一定线性▁▁▁▁。 6. 设向量组?1,?2,??,?s的秩为r,则

是它的极大线性无关组。 7. 设向量?1?(1,?1,?2,??,?s中任意r个▁▁▁▁的向量都

0,1)T与?2?(1,1,a)T正交，则a?▁▁▁▁。

8. 正交向量组一定线性▁▁▁▁。

9. 若向量组?1,?2,??,?s与?1,?2,??,?t等价，则?1,?2,??,?s的秩与

?1,?2,??,?t的秩▁▁▁▁。

10. 若向量组?1,?2,??,?s可由向量组?1,?2,??,?t线性表示，则r(?1,?2,??,?s)

11

▁▁▁▁r(?1,?2,??,?t)。 11. 向量组?1??a1,1,性关系是▁▁▁▁。 12. 设?1?(0,TTT0,0?，?2??a2,1,1,0?，?3??a3,1,1,1?的线

y,?12)T，?2?(x,0,0)T，若?和?是标准正交向量，则x和y

的值▁▁▁▁. 三、计算题

1. 设?1?(1??,1,1)T，?2?(1,1??,1)T，?3?(1,1,1??)T，

??(0,?,?2)，问

（1）?为何值时，?能由?1,?2,?3唯一地线性表示？

（2）?为何值时，?能由?1,?2,?3线性表示，但表达式不唯一？ （3）?为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？ 解：设??x1?1?x2?2?x3?3

T?(1??)x1?x2?x3?0? 则对应方程组为?x1?(1??)x2?x3??

?x?x?(1??)x??223?11?? 其系数行列式A?11??1111????2(??3)

11（1）当??0,???3时，A?0，方程组有唯一解，所以?可由?1,?2,?3唯一地线性表示;

12

?1110??1110?????（2）当??0时，方程组的增广阵 A??1110???0000?，

?1110??0000?????r(A)?r(A)?1?3，方程组有无穷多解，所以?可由?1,?2,?3线性表示，但表示

式不唯一;

（3）当???3时，方程组的增广阵

10???21?1?21?3?????A??1?21?3???0?33?12?，r(A)?r(A)，方程组无解，

?1?000?18?1?29?????所以?不能由?1,?2,?3线性表示。 2. 设?1?(1,0,2,3)T，?2?(1,1,3,5)T，?3?(1,1,a?2,1)T，

?4?(1,2,4,a?8)T，??(1,1,b?3,5)T问：

（1）a,b为何值时，?不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？ （2）a,b为何值时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？ 解:以?1,?2,?3,?4,?为列构造矩阵

?1??0?2??3??1?1111???01121??0??3a?24b?3???51a?85??0??111112a?101?41?a200?41??1?0? ??b???不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合； （1）当a??1且b?0时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合。 （2）当a??1,b任意时，3. 求向量组?1?(1,?1,0,4)T，?2?(2,1,5,6)T，?3?(1,2,5,2)T，