线性代数习题集(13)

(C) 秩(A)< 秩(B) (D) 秩(A)与秩(B)的关系依C而定 7. 如果向量?可由向量组?1,?2,,?s线性表示,则下列结论中正确的是（ ） ks，使得??k1?1?k2?2?ks，使得??k1?1?k2?2??ks?s 成立 ?ks?s 成立

(A) 存在一组不全为零的数k1,k2, (B) 存在一组全为零的数k1,k2, (C) 存在一组数k1,k2,ks，使得??k1?1?k2?2??ks?s 成立

(D) 对?的线性表达式唯一

46

8. 设?1,?2是齐次线性方程组AX?0的解，?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的解，则（ ）

(A) 2?1??1为AX?0的解 (B) ?1??2为AX?b的解 (C)

?1??2为AX?0的解 (D) ?1??2为AX?b的解

?110???9. 设A??101?,则A的特征值是( )。

?011???(A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) ?1,1,2 (D) ?1,1,1 10. 若n阶方阵A与某对角阵相似，则 ( )。

(A) r(A)?n (B) A有n个互不相同的特征值 (C) A有n个线性无关的特征向量 (D) A必为对称矩阵

二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A和B为n阶方阵，则有(A?B)(A?B)?A2?B2。（ ） 12. 当n为奇数时，n阶反对称矩阵A是奇异矩阵。（ ） 13. 设A,B,C为同阶方阵，AB?AC，则B?C。（ ）

14. 若矩阵A有一个r阶子式D?0，且A中有一个含有D的r?1阶子式等于零，则A的秩等于r。（ ）

15. 若非齐次线性方程组AX?b有无穷多解，则其导出组AX?0一定有非零解。（ ） 16 若向量组?1,?3,?5线性无关，则向量组?1,?2,17. 等价的向量组的秩相等。（ ）

18. 设A与B都是n阶正交矩阵，则A?B也是正交矩阵。（ ） 19. 矩阵A不同特征值对应的特征向量必线性无关。（ ）

47

（ ） ,?9线性无关。

20. 两个相似的方阵必等价，两个合同的方阵也必等价。（ ） 题 号 得 分

三、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）

1．在5阶行列式中，a12a25a31a43a54的符号是

s1 ?500????1?12．若A为3阶方阵，A为A的逆矩阵且A??021?，则A? .

?0?11?????x1?x2?x3?0?3.线性方程组 ?2x1?x2?x3?0 仅有零解的充要条件是 .

?x?x?3x?03?12324.已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3，则A?5A?7A? . 2225．实二次型f(x1,x2,x3)?x1，当t＝ 时，其秩为2.。 ?2x1x2?tx2?3x3 题 号 得 分

四、计算题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）

s2 1. 计算4阶行列式

21231000

231262312. 已知向量组?1?(1,1,2,1)T,?2?(1,0,0,2)T,?3?(?1,?4,?8,k)T线性相关，求

k.

48

3. 设?1?(1,?2,2)T,?2?(?1,0,?1)T,?3?(5,?3,?7)T，用施密特正交

化法将该向量组正交化。 题 号 得 分

五、计算题（二）（共2小题，每小题8分，共16分）

s3 ?31?1??14?????1. 设A??120? ，B??-13? ，若矩阵X满足AX?X?B，求X。

?1-12??32??????001???2. 设A??11a? ，问a为何值时，矩阵A能对角化？

?100??? 题 号 得 分

六、计算题（三）（共2小题，每小题10分，共20分）

s4

1.当?为何值时，线性方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?0?12345 ?x?2x?2x?6x?32345???5x1?4x2?3x3?3x4?x5??有解？在有解的情况下，求其全部解（若有无穷解，用其导出组的基础解系表示）。

2. 求向量组?1?(2,1,4,3)T、?2?(?1,1,?6,6)T、?3?(?1,?2,2,?9)T、?4?(1,1,?2,7)T、

?5?(2,4,4,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

题 号 得 分

七、证明题（共1小题，每题6分，共计6分）

49

s5 设?1和?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为p1和p2，证明

p1?p2不是A的特征向量。

线性代数 课程试卷（A）及答案

本题 得分 1.若一、单项选择题（共10小题，每题2分，共计20分）

答题要求：请将正确选项前的字母填在题后的括号内

?1,?2,?3,?1,?2都是四维列向量，且四阶行列式?1?2?3?1?m，

?1?2?2?3?n，则四阶行列式?3?2?1(?1??2)?(C)

(A)m+n (B)-(m+n) (C)n-m (D)m-n 2.设矩阵??3??12?a3??1a???，则（B） ????65c??b6c?8??2c?2 (B)a?1b?2c??2 c?2 (D)a??1b?2c??2

(A)a?1b??2(C)a??1b??23.若A、B均为非零方阵，且AB=O，则有A、B（D）

(A)都可逆 (B)至少有一个可逆 (C)r(A)=r(B) (D)都不可逆 4.下列向量中，可由?1?(0,1,0)T与?2?(1,0,0)T线性表示的是（B） (A) (0,0,1)T (B) (0,3,0)T (C) (0,2,1)T (D) (2,0,1)T 5.设矩阵A满足A?4A?5E?O，则（A）

(A)A与A+4E同时可逆 (B)A+5E一定可逆 (C)齐次线性方程组?A?5E?X?O有非零解 (D)A-E一定可逆 6.若n阶矩阵A的行列式A?1，则A的秩为（D） (A)1 (B)0 (C)n-1 (D)n 50

2