《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题答案(8)

故Y?X的概率密度函数为：

2?1?ye,?fY(y)?FY(y)??2y?0,?2y?0y?0

23、设随机变量K服从(0,5)上的均匀分布，求方程4x?4Kx?K?2?0有实根的概率.

解：依题意可知，K2?1?,0?k?5f(k)??5.?其他U(0,5)，则K的概率密度为：?0,

若要使得方程4x?4Kx?K?2?0有实根，则有：

??(4K)2?4?4(K?2)?0，即K2?K?2?0；解得K?2或K?－1.

故方程有实根的概率为：

P({K?2}?{K??1})?P{K?2}?P{K??1}?1?P{K?2}?0

?1??2013dk?.55

24、设一物体是圆截面，测量其直径，设其直径X服从[0,3]上的均匀分布，则求横截面积

X2Y???4 Y的数学期望和方差，其中

?1?,0?x?3fX(x)??3,33EX?,DX?.?0,其他?24 解:由题意可得,直径X的概率密度为:则

X2Y???,4故 而横截面积

EY?

?4EX2?2?4[DX?(EX)2]?2?393(?)??.4444

DY?EY?(EY)?

?216EX4?9292???.1620

225、设随机变量X服从正态分布N(?0,1?，求随机变量函数Y?X的密度函数。

解：?X 服从

N(0,1),?X(x)?12?e?x2/2(???x???)为偶函数，

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?1?1e?y/2,y?0?X(y),y?0???fY(y)??yfY(y)??2?y??y?00,y?0 ?0,? 即

26、设某种药品的有效期间X以天计，其概率密度为

?20000,x?0?f(x)??(x+100)3,?0,x?0 ?求：(1)X的分布函数；(2)至少有200天有效期的概率. 解：(1)当x?0时，

F(x)??x??f(u)du?0,

当x?0时，

F(x)??x??f(u)du??x02000010000dx?1?;(x?100)3(x?100)2

则

10000?1?,x?0?F(x)??(x?100)2.?0,x?0?

(2)P{X?200}?1?P{X?200}

11?1?F(200)?1?(1?)?.99

27、设随机变量X服从均匀分布U[0,1]，求Y??2lnX的概率密度.

dx1?,xy?ex?lnydyy 解：的反函数为，且

fY(y)?fX(lny)|dx1|?.dyy

当lny?(0,1),即y?(1,e)时，

故Y?e的概率密度为：

X?1?,fY(y)??y?0,?fX(x)?y?(1,e)其他.

28、设随机变量X的概率密度为的概率密度fY(y)．

1,(???x??),3?(1?x2)求随机变量Y?1?X33y?1?xx?h(y)?(1?y)解：函数严格单调，反函数为，

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3(1?y)2fY(y)?fX(h(y))|h?(y)|?,6?(1?(1?y))则

???y???.

?1?(6?x?y),0?x?2,2?y?4f(x,y)??29、设二维随机变量?X,Y?的概率密度为?8?0其它求P{X?Y?4}.

解：在f(x,y)?0的区域R:0?x?2,2?y?4上作直线x?y?4，G:0?x?2,2?y?4?x，则

44?y1P{X?Y?4}=P{(X,Y)?G}=??f(x,y)dxdyG=

?2dy?28(6?x?y)dx

1?4[(6?y)x?124?y1(4?y)2?14222x]08[?6(4?y)3] =8=2?3

30、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?f(x,y)???x2?1xy,0?x?1,0?y?2?3，?0,其他

试求(1)(X,Y)的分布函数；(2)X的边缘密度函数. 解：(1)当0?x?1,0?y?2时，

2F(x,y)??x???y??f(u,v)dudv??xy(u2?1x3yx0?03uv)dudv?y23?12.

(x,y)?y(u,v)dudv?当x?1,y?2F时，?x?????f?120?0(u2?13uv)dudv?1.

F(x,y)??xy在其他情况下，

?????f(u,v)dudv?0.

从而(X,Y)的分布函数为

??0，其他?x2y?x2y2F(x,y)??,0?x??31,0?y?2.??1x?1,y?2

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，

并记

(2)当0?x?1时， 在其他情况下，

fX(x)??????212f(x,y)dy??(x2?xy)dy?x?2x2.033

fX(x)??????f(x,y)dy?0.

?22?x?2x,0?x?1fX(x)??3.?0,其他?X 从而的边缘密度函数为：

31、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?6xe?3y,0?x?1,y?0f(x,y)??，其他?0, 试求

(1)X和Y的边缘密度函数；(2)P{X?0.5,Y?1}. 解：(1)当0?x?1时， 在其他情况下，

fX(x)??????????f(x,y)dy??6xe?3ydy?2x.0??

fX(x)??f(x,y)dy?0.

?2x,0?x?1fX(x)??.0,其他? 从而X的边缘密度函数为：

fY(y)??f(x,y)dx??6xe?3ydx?3e?3y.y?0??0当时，

在其他情况下，

??1fY(y)??????f(x,y)dx?0.

?3e?3y,y?0fY(y)??.其他 ?0, 从而Y的边缘密度函数为：

P{X?0.5,Y?1}????(2)

0.5???1f(x,y)dxdy??10.51???36xe?3ydxdy?e?3.4

?ke??3x?4y?,x?0,y?0f(x,y)??0其它， ?32、设二维连续型随机变量?X,Y?的概率密度为

（1）确定常数k； （2）讨论X,Y的独立性．

解：（1）因为

1???????????f?x,y?dxdy?k???0???0e??3x?4y?dxdy?k12，所以k?12．

fX?x???（2）因为

???????3x?x?0??12e??3x?4y?dxdy,x?0?3ef?x,y?dy??0???0，其它?0，其它?；

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?4e?4xy?0fY?y????0，其它． 同理可得

显然对任意的x,y?R，恒有f?x,y??fX?x?fY?y?，故随机变量X,Y相互独立．

?2e?2x?y,f(x,y)???0,33、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数

求：(1)(X,Y)的分布函数；(2) 关于X的边缘分布函数.

x?0,y?0其他,

F(x,y)?? 解： (1)

y?????yyx????2e?2x?ydxdy,f(x,y)dxdy??00?0,?x?0,y?0其他

?(1?e?2x)(1?e?y),F(x,y)??0,? 即有

（2）当x?0时，

x?0,y?0其他??0

fX(x)??????f(x,y)dy??2e?2x?ydy?2e?2x当x?0时，fX(x)?0,

?2e?2x，x?0fX(x)??其他 ?0,X的边缘分布密度函数

当x?0时，

FX(x)??2e?2tdt?1?e?2x,0x

当x?0时，FX(x)?0,

?1?e?2x,x?0FX(x)??其他 ?0,X的边缘分布函数

34、设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)?6,222?(4?x)(9?y)???x??,???y??

求：(1)(X,Y)的分布函数；(2)关于Y的边缘概率密度.

解：(1)

F(x,y)??x?????yf(u,v)dudv??6dudv??????2(4?u2)(9?v2)

xyy111x?y?dudv?(arctan?)(arctan?).2???222???(4?u)(9?v)?2232 ??6x第 30 页 共 56 页