《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题答案(12)

本标准差S?6.2022，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值?的置信水平为0.95的置信区间.

解：由题意可知，n?16,??0.05 .

t0.025(15)?2.1315，x=503, s?6.2022.

均值?的的置信水平为0.95的置信区间置信区间为

6.2022???2.1315??503.75?16??，即?500.4,507.1?．

四、综合题

111P(A)?,P(BA)?,P(AB)?,432求P(A?B) 1、已知

1P(AB)121P(B)???1111P(AB)6P(AB)?P(A)P(BA)???4312 ，2解

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)? 故

2、设A,B是两个事件，又设

1111???46123

且

P(A)?p1?0,P(B)?p2?0p1?p2?1，

P(B|A)?1?证明：

1?p2p1.

P(B|A)?证明：

P(AB)P(A)?P(B)?P(A?B)P(A?B)?P(B)??1?P(A) P(A)p(A)

?1?

1?p2.p1

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3、假设P(A)?0,试证

P(B|A)?1?P(B)P(A).

P(B|A)?证明：

P(AB)P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A) P(A)

?1?1?P(B)P(B)P(A?B)?P(B)?1??1?.P(A)P(A) P(A)4、已知事件A,B,C相互独立，证明：A?B与C相互独立. 证明：P[(A?B)C]?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?[P(A)?P(B)?P(A)P(B)]P(C)

?[P(A)?P(B)?P(AB)]P(C)＝P(A?B)P(C)； 从而A?B和C相互独立.

5、设A,B是任意二事件，其中0?P(A)?1，证明：P(A|B)?P(A|B)是A与B独立的充分必要条件.

证明： P(A|B)?P(A|B)

?

P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)??P(B)P(B)1?P(B)

（因为0?P(B)?1） ? P(AB)?P(AB)P(B)?P(A)P(B)?P(B)P(AB)

? P(AB)?P(A)P(B)，即A与B独立.

6、设事件A、B满足P(A)?0, P(B)>0，试证明A与B独立和A与B互不相容不可能同时发生。

解：（反证法）假设A与B独立和A与B互不相容同时成立。 由“A与B独立”可得，

P?AB??P(A)P(B)P?AB??0。（1）

又“A与B互不相容”可得，。 （2）

由式（1）（2）得，P(A)P(B)?0。而该式与题设中的“P(A)?0, P(B)>0”矛盾！

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故，A与B独立和A与B互不相容不可能同时发生。 7、证明：P(AB?AB)?P(A)?P(B)?2P(AB)

解： P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(ABAB)?P(AB)?P(AB) 因P(AB)?P(A)?P(AB),P(AB)?P(B)?P(AB) 故P(AB?AB)?P(A)?P(B)?2P(AB)

A8、某船只运输某种物品损坏2%(记为A1),10%(记为A2),90%(记为3)的概率分别为

P(A1)?0.8,P(A2)?0.15,P(A3)?0.05,现从中随机地独立地取3件,发现这3件都是好

的(记为B).试分别求取后一件的概率)

P(A1B)P(A2B)P(A3B),

,

(设物品件数很多,取出一件以后不影响

解：

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?(0.98)3?0.8?(0.90)3?0.15?(0.1)3?0.05?0.862336i?13