《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题答案(14)

?2?1?x2fX(x)????0?即

， -1?x?1?2?1?y2fY(y)????，其它0?， 同理

， -1?y?1，其它，

因为

fX?x?fY?y??f?x,y?EX???????， 所以X,Y不独立．

11?x22又因为

，

??11?xxyE(XY)???xyf?x,y?dxdy??dx?dy?0?????1?1?x?EY?0同理 ，，

22??xf?x,y?dxdy??dx??1x?1?x?dy?0所以，cov(X,Y)?E(XY)?(EX)(EY)?0，即X,Y不相关． 15、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?x2?Axy,f(x,y)???0,

0?x?1,0?y?2其他

求（1）A的值；（2）两个边缘概率密度函数。

解：（1）由

??f(x,y)dxdy?1可得，?10dx?(x?Axy)dy?1? A?202

13

（2）两个边缘概率密度函数分别为

??fX(x)?????221?22??0(x?xy)dy,0?x?1?2x?x,0?x?1f(x,y)dy????33???0 ,其他?0 ,其他 ?121?11(x?xy)dx,0?y?2???y,0?y?2f(x,y)dx???0?3?36???0 ,其他?0 ,其他

fY(y)??????16、设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为

?Cx2y3,0?x?1,0?y?1f(x,y)??，其他?0,试求：

(1) 常数C； (2) X和Y的边缘密度函数；（３）证明X与Y相互独立. 解：(1)由规范性可知:

??????????f(x,y)dxdy?1,即

????1100??Cx2y2dxdy?1,10得C?12.

(2)当0?x?1时，

fX(x)??f(x,y)dy??12x2y3dy?3x2.第 46 页 共 56 页

在其他情况下，

fX(x)??????f(x,y)dy?0.

?3x2,0?x?1fX(x)??.0,其他? 从而X的边缘密度函数为：

当0?y?1时，

fY(y)??????f(x,y)dx??12x2y3dx?4y3.01

在其他情况下，

fY(y)??????f(x,y)dx?0.

?4y3,0?y?1fY(y)??.0,其他? 从而Y的边缘密度函数为：

(3)因为对任意x,y;

f(x,y)?fX(x)?fY(y),所以X与Y相互独立.

x?1?1?e3， x?0fX(x)??3??0，x?0， 随机变量Y的概率密度17、已知随机变量X的概率密度为

?6e?6y， y?0fY(x)???0，y?0，且X,Y相互独立．试求

（1）、X,Y的联合密度函数f?x,y?；（2）P?X?Y?； （３）数学期望Ｅ（XY）。

x??1?2e3e?6y,x?0,y?0f?x,y??fX?x?fY?y????0,其它?解：（1） 因为X,Y相互独立，故

（2）

P?X?Y???dx?2e0x1????1?x3e?6ydyu?6y2?e0??1?x3dx?e?u6x??1du6

1???3x?6x1???3x1??e?edx??edx?303019

19（3）

E(XY)???xyf(x,y)dxdy??0x2e??1?x3dx???0ye?6ydy?1811?362

?6x,0?x?y?1f(x,y)??其他， 求 (X,Y)?0,18、设二维随机变量的联合密度函数

（1）X,Y的边缘密度函数；（2）P(X?Y?1). 解：(1) 当0?x?1时，

fX(x)??6xdy?6x(1?x)x1，故

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?6x(1?x)fX(x)???00?x?1其他

?3y2yfY(y)??2f(y)?6xdx?3yY?0?0当0?y?1时，， 故

P(X?Y?1)??1/20?y?1其他14.

(2)

06xdx?1?xxdy??1/206x(1?2x)dx?19、一个电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时).已知X和Y的联合分布函数为：

?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0F(x,y)??0,其他. ?求联合概率密度f(x,y)；（2）求关于X和Y的边缘概率密度；（3）判别X和Y是否独立？

y?1?x??e2,x?0,y?0f(x,y)??4.?0其他(X,Y)?解:(1)由题意可知:的联合概率密度为:

yx???1?x??1?22edy,x?0?e?＝?2f(x,y)dy???04?0,其他 ??0,?fX(x)?? （2）

??x?0其他

??

??yy????1?x??1e2dx,y?0?e2??＝?2f(x,y)dx??04?0,其他??0,?fY(y)??

y?0??.其他

因为对任意x,y;

f(x,y)?fX(x)?fY(y),所以X和Y相互独立.

X20、已知随机变量X,Y的分布律为

?1014121Y0112，且P(XY?0)?1,求

P11P4和2X,Y的联合分布律。

解: 由P(XY?0)?1,P(XY?0)?0 从而 P{X??1,Y?1}?P{X?1,Y?1}?0

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由P{Y?1}?P{X??1,Y?1}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?1}

P{X?0,Y?1}? 得

12，\\

再由P{X?k}?P{X?k,Y?0}?P{X?k,Y?1},k??1,0,1

XY?101可得联合分布律为 21、设X014014Y?10120

X??N(?,?)，试证明

2?服从标准正态分布N(0,1).

Z?证明：

X???的分布函数为：

P{Z?x}?P{t?? 令?X???1?x}?P{X????x}?2??12?????x?(t??)22?2??edt.

?u,得

P{Z?x}??x??e?u/2du??(x),

2Z?由此知

X???服从N(0,1).

22、设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，试证明X?Y仍服从泊松分布，参数为6. 解 参见教材第93页例3.5.2

23、设随机变量X,Y,Z相互独立且服从同一贝努利分布B(1,p)， 试证明随机变量

X?Y与Z相互独立.

证：由题设知

X 0 1 X?Y 0 1 2

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P qp P q2 2pq p2

P(X?Y?0,Z?0)?q3?P(X?Y?0)P(Z?0)； P(X?Y?0,Z?1)?pq2?P(X?Y?0)P(Z?1)；

2P(X?Y?1,Z?0)?2pq?P(X?Y?1)P(Z?0)；

2P(X?Y?1,Z?1)?2pq?P(X?Y?1)P(Z?1)；

2P(X?Y?2,Z?0)?pq?P(X?Y?2)P(Z?0)；

3P(X?Y?2,Z?1)?p?P(X?Y?2)P(Z?1).

所以 X?Y与Z相互独立.

?(k?1)xk,0?x?1,f(x)??0,其他， ?24、设随机变量X的概率密度函数为

137A?{X?}2至少发生一次的概率为64。 已知对X独立重复观测3次，事件

（1）求常数k。 （2）为了使事件A至少发生一次的概率超过0.95，那么对X至少要作多少次独立重复观测。（ln0.05??2.9958,ln0.75??0.2877）

解 令对X独立重复观测3次中事件A发生的次数为Y，易知

1/211p?P{X?}??(k?1)xkdx?k?10b(3,p),其中22

Y371?P{Y?1}?1?(1?p)3?1?(1?k?1)32(1)64，解得k?1

(2) 令对X独立重复观测n次中事件A发生的次数为Z

Zb(n,p),其中

p?12k?1?14

10.95?P{Z?1}?1?(1?)n4,n?10.413故X至少要作11次独立重复观测

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