《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题答案(11)

lnL(p)?(?xi)lnp?(n??xi)ln(1?p)i?1i?1nn

dlnL(p)?dp令

^?xi?1nip?n??xii?1n1?p?0

^1n1np??xip??Xi?Xnni?1i?1解得,故最大似然估计量

2N(0,?)，其中?2是末知参数，X1,X2,46、设总体X服从正态分布

,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，试求?的极大似然估计量。

2解：由题意，X的概率密度函数为：

f(x)?1e2??n?x22?2,???x???

xi2? 样本

X1,X2,,Xn的似然函数为：

2L(?)??2i?1?211e2??en2??(2??)?xi2i?1n2?2

nn1lnL(?)??ln2??ln?2?2222? 所以对数似然函数为：

dlnL(?2)n1???2222d?2?2(?) 求导得似然方程为：

n2i?xi?1n2i

21n2???xix?0??ni?1 i?1，解得

1n2???Xi?2ni?1 故?的极大似然估计量为：

247、设总体X的概率密度为

??x??1,0?x?1f(x)??其它 ?0,X,X,其中??0是未知参数，12,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，求

1nX??Xi?ni?1（1）?的矩阵估计量?；（2）判断是否为?的无偏估计量. (3)求?的极大似

然估计量。

解：（1）

E(X)??????xf(x)dx???x?dx?01???1

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因总体期望值E(X)的矩估计为样本平均值X,则

X????1,从而?的矩估计量

???为：

X1?X.

1n1n?E(X)?E(?Xi)??E(Xi)?E(X)???nn??1i?1i?1（２）因 1nX??Xini?1故不是?的无偏估计量.

（３）lnＬ（?）=

?lnf(x,?)??ln?xii=1i=1nn??1i?n*ln??(??1)?lnxii?1n

dlnL(?)nn???lnxi?0d??i?1得到

??^n?lnxi?1ni

2N(?,?)，?和?2均未知参数，试求?和?2的最大似然估计量. 48、设X服从正态分布

解：X的概率密度为：

2f(x;?,?2)?n11exp[?2(x??)2]；2?2?

似然函数为：

L(?,?)??i?111exp[?2(xi??)2]2?2?

?(2?)?n/2(?)2?n/2exp[?12?2?(x??)].2ii?1n

nn1lnL(?,?)??ln(2?)?ln?2?2222? 对数似然函数为：

2?(x??).2ii?1n

?1nlnL?2[?xi?n?]?0,???i?1 令

? ??2lnL??n2?2?12(?)22?(x??)ii?1n2?0.

21n???(Xi?X)2.??X,?2ni?1 因此得?,?的最大似然估计量为：

49、设

X1,X2,,Xn1是来自参数为?的泊松分布总体的一个样本,试求?的最大似然估计

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量及矩估计量.

解：(1)依题意可知,总体X?(?),其分布律为

xiP{X?k}??kk!e??,k?0,1,.

L(?)??i?1n?xi!e????n?xii?1ne?n?,i则似然函数为:

n?x!i?1n

对数似然函数为:

lnL(?)?ln??xi?n???lnxi,i?1i?1

xidlnL(?)??i?1?n?0,d??似然方程为: 1n????Xi?Xni?1解得为?的最大似然估计量.

(2)因为总体Xn?X??(?),则E(X)??,故?=为的矩估计量.

?6x?(??x),0?x??f(x)???3?0,其它X,X2,?,Xn?50、设总体X的概率密度为，1是取自总体

X的简单随机样本.求：

(1) ?的矩估计量?；(2) ?的方差

??D(??).

解：(1)

E(X)??xf(x)dx???????6x20?3(??x)dx??2

1n?X??Xi?X?ni?12记，令，则?的矩估计量为：??2X.

(2)因为

E(X)??xf(x)dx????222??2?6x306?2(??x)dx?320 ?6?2?2?2D(X)?E(X)?[E(X)]??()?20220

?所以 ??2X的方差为：

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24??)?D(2X)?4D(X)?D(X)?D(?n5n

51、设总体X的概率分布列为：

X 0 1 2 3

P p2 2 p(1-p) p2 1-2p

其中p (0?p?1/2) 是未知参数. 利用总体X的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 .

解：(1)

X??Xi?16/8?2i?18， 令 E(X)?3?4p?X，

?得 p的矩估计为 p?(3?X)/4?1/4.

(2) 似然函数为

L(p)??P(X?xi)?P(X?0)[P(X?1)]2P(X?2)[P(X?3)]4i?18

?4p(1?p)2(1?2p)4

lnL(p)?ln4?6lnp?2ln(1?p)?4ln(1?2p)

[lnL(p)]??令

628???02?12p?14p?3?0 p1?p1?2p，

?p?(7?13)/12. 由 0?p?1/2，故p?(7?13)/12舍去 ??(7?13)/12?0.2828.p所以p的极大似然估计值为

?(??1)x?,0?x?1f(x;?)??,0,其他?1是未知参数，52、设总体X的概率密度为 其中??－X1,X2,,Xn1是来自

总体X的一个容量为n的简单随机样本，求 (1)?的矩估计量?；(2)?的最大似然估计量?.

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解：(1)

E(X)??????xf(x)dx??(??1)x??1dx?01??1??21??1x|0?.??2??2

??1??2X?1.??X,1?X 令??2 则?的矩估计量为：

(2)样本

(X1,X2,n,Xn)?的似然函数为：

nn

L(?)??(??1)xi?(??1)(?xi)?.i?1i?1

n 对数似然函数为：

lnL(?)?nLn(??1)??(?lnxi).i?1

ndlnL(?)n???lnxi?0,d???1i?1 求导得似然方程为：

????1? 解得

n(?lnxi)i?1n, 故?的最大似然估计量为：

????1?n(?lnxi)i?1n.

2X~N(?,2.8)，(X1,X2,53、设总体

,X10)为总体X的一个样本，并且已知样本

的平均值x?1500，

求 ?的置信水平为0.95的置信区间．（

z0.05?、

z0.025?1.96）

1???0.95,???0.05,解： ??2?0.025,n?10,??2.8,x?1500

?的置信水平为0.95的置信区间为

?????2.82.8?x??Z??1500?Z,1500?Z??0.0250.025????n2??1010? ?

所以?的置信水平为0.95的置信区间为

????x?Z????1498.26,1501.74???n2? ?

54、有一大批糖果.现从中随机地抽取16袋，得重量(以g计)的样本平均值X?503，样

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