《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题答案(13)

P(A1|B)?则

P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)?0.8731P(A2|B)??0.1268P(B)P(B)， P(A3)P(B|A3)?0.000058P(B)

P(A3|B)?

1239、假设某山城今天下雨的概率是3，不下雨的概率是3；天气预报准确的概率是4，不准1确的概率是4；王先生每天都听天气预报，若天气预报有雨，王先生带伞的概率是1，若天1气预报没有雨，王先生带伞的概率是2；试求：

(1)某天天气预报下雨的概率？(2)王先生某天带伞外出的概率？(3)某天邻居看到王先生带伞外出，求预报天气下雨的概率？

解：令A={今天天气预报下雨}，B={今天天气真实下雨}，C={王先生今天带伞外出}

31125P(A)?P(A|B)P(B)?P(A|B)P(B)?????434312, (1)

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3112P(A|B)?,P(B)?,P(A|B)?,P(B)?.4343 其中

P(C)?P(C|A)P(A)?P(C|A)P(A)?1?(2)

51717???1221224,

P(C|A)?1,P(A)? 其中

517,P(C|A)?,P(A)?.12212

(3)A|C={邻居看到王先生带伞外出，今天天气下雨}

P(A|C)?P(AC)P(C|A)P(A)5/1210???.P(C)P(C)17/2417

?2x,0

1{X?}2发生的次数，求P?Y?2?. 测中事件

1/21P{X?}??2xdx?0.2502解： Y服从二项分布，参数为n?3,p?0.25

故，

P?Y?2??C32(0.25)2)(0.75)?964

11、设2000件产品中有40件次品，按放回抽样连取100件，其中次品数X为随机变量． （1）写出随机变量X的概率分布律的表达式；（2）按泊松分布近似计算概率P?0?X?4?。 解 .(1)

kP{X?k}?C100?0.02k?0.982000?k,k?0,1,2,...,100

2k?219e?2P?0?X?4???e?3 k?0k!(2)??np?2,

3XN(0,1)Y?eX12、设随机变量服从标准正态分布，求的概率密度. xy?e,x?lny,y?0 解

则Y的概率密度为

?e?(lny)/21?,?fX(lny),y?0,??y?2?yfY(y)????0,y?0.?0,?2y?0,y?0.

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13、设P{X?0}?P{Y?0}?P{X?1}?P{Y?1}立且同分布，求随机变量解：（1）

?12，两个随机变量X，Y是相互独

Z1?max(X,Y),Z2?X?Y的分布律.

Z1的所有可能取值为0，1，且

P{Z1?0}?P{max(X,Y)?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}?14

34

P{Z1?1}?P{max(X,Y)?1}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?1,Y?1}?故 （2）

Z1的分布律为： Z10 1 pk13 4 4 Z2的所有可能取值为0，1，2，且

故

P{Z2?0}?P{X?Y?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}?P{Z2?1}?P{X?Y?1}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?0}?P{Z2?2}?P{X?Y?2}?P{X?1,Y?1}?Z2的分布律为：

14

12

14

Z2pk 0 1 2 111 4 2 4

D:x2?y2?1??X,YD14、设二维随机变量是区域内的均匀分布，．试写出联合概率密度函

数，并确定X,Y是否独立？是否相关？

?1?， x2?y2?1f(x,y)????，其它?0??解： ?X,Y?的联合概率密度

，

由边缘概率密度的定义，

fX?x?????f?x,y?dy??1?x221?1?x?dy?2?1?x2,?1?x?1,

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