《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题答案(7)

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解：(1)由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，Y的所有可能取值为0，1，2.

P{X?0,Y?0}?C021020121

3(3)0(3)3?C2(3)(3)?35P{X?0,Y?1}?C0(201312111433)(3)?C2(3)(3)?35, P{X?0,Y?2}?C02013222104

3(3)(3)?C2(3)(3)?35P{X?1,Y?0}?C121120201263(3)(3)?C2(3)(3)?35, P{X?1,Y?1}?C12112?C1211124

3(3)(3)2(3)(3)?35P{X?1,Y?2}?C1211222210243(3)(3)?C2(3)(3)?35, P{X?2,Y?0}?C2210201212

3(3)2(3)1?C2(3)(3)?35P{X?2,Y?1}?C222112111483(3)(3)1?C2(3)(3)?35, P{X?2,Y?2}?C2212221048

3(3)2(3)1?C2(3)(3)?35P{X?3,Y?0}?C323100201283(3)(3)?C2(3)(3)?35, P{X?3,Y?1}?C323101211132

3(3)(3)?C2(3)(3)?35P{X?3,Y?2}?C3231022210323(3)(3)?C2(3)(3)?35

故(X,Y)的联合分布律为：

第 23 页 共 56 页Y 0 1 2 ,

,

,

,

,

,

(2) X和Y的边缘分布律分别为：

pk144 9 9 9 0 1 2 3 X

pk1248 27 9 9 27 ?Axe?x,x?0?x?0， f(x)??0,17、设随机变量X的概率密度为

试求（1）系数A;（2）方差D(X). 解：(1)因为 (2)

?????f(x)dx?1??0，所以

???0Axe?xdx?A?1??0，即A?1 ,

E(X)??x2e?xdx?2,E(X2)??2x3e?xdx?6 因而，

D(?)?E(X2)??E(X)??6?4?2 .

?0,?x?F(x)??A?Barcsin,a?1,??18、设随机变量X的分布函数为

求：(1)确定常数A和B；（2）X的概率密度函数

x??a?a?x?ax?a

limF(x)?F(?a)limF(x)?F(a)F(x)x??a?x解：（1）因是连续函数，故 ，?a?

?A?Barcsin(?1)?011?A?,B?A?Barcsin1?0，解得2? 即?1?,?22f(x)???a?x?0,??a?x?a其它

? （2）由F(x)?f(x)可知，

?Ae?(x?y),f(x,y)???0,19、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

求（1）A的值；（2）P{X?1,Y?2} 解：（1）??????????x?0,y?0其他

f(x,y)dxdy??1??0???0Ae?(x?y)dxdy?Ae?x?x10??0?e?y??0?A?1

(2)

P{X?1,Y?2}??00?2e?(x?y)dxdy?ee?y20(1?e)(1?e2)?e3

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20、某工厂生产的一种设备的使用寿命X（年）服从指数分布，其密度函数为

x?1?4?e, x?0f(x)??4?0 , x?0?。工厂规定，设备在售出一年之内损坏可以调换，若售出一台可获利

100元，调换一台设备需花费300远，试求厂方售出一台设备净获利的数学期望。 解：设Y={厂方售出一台设备净获利}，则Y的可能取值为100，-200。

P(Y?100)?P(X?1)????1x1?4edx?e?0.254，

x1?4P(Y??200)?P(X?1)??edx?1?e?0.2504

1?0.25E(Y)?100P(Y?100)?200P(Y??200)?300e?200 故，

21、某种型号的器件的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度

?1000,x?1000?f(x)??x2?其它?0,。现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取4

只，问其中至少有一只寿命大于2000小时的概率是多少？ 解：设4只器件中寿命大于1000小时的器件个数为Y,则Yb(4,p)，

且其中

p?P{X?2000}?1?P{X?2000}?1??2000100010001dx?x22

1501014P{Y?1}?1?P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C4()()?2216 故

?e?x,x?0f(x)???0,其他. 求Y?X2的概率密度. 22、 设随机变量X的概率密度为

2FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}FY(y)Y?X解：的分布函数为：

FY(y)?P{X2?y}?0y?0 当时，，

2F(y)?P{X?y}?P{?y?X?y}?P{X?y}?P{X??y} y?0 当时，Y

??y0e?xdx?0?1?e?y

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