《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题答案(10)

39、一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.10,0.20,0.30.

假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望和方差. 解：设

Ai??部件i需要调整?（i?1,2,3)

P(A1)?0.1,P(A2)?0.2,P(A3)?0.3A1,A2,A3易见X有四个可能值0，1，2，3。由于

独立，可见

P(X?0)?P(A1A2A3)?0.9?0.8?0.7?0.504

P(X?1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.398P(X?2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.092P(X?3)?P(A1A2A3)?0.1?0.2?0.3?0.006

所以E(X)?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6

D(X)?E(X2)?(E(X))2?1?0.398?4?0.092?9?0.006?(0.6)2?0.46

?3x?f(x)??2，0?x?1?其它?0，40、设随机变量X的概率密度， 试求： 3??P?X??2?；（1）概率?（2）数学期望E(X)。

3?3???f(x)dxP?X??P?X???2?=1-?2?=1-??解：（1）?=1-1=0

32 （2）

E(X)??????xf(x)dx??x013xdx?0.62

41、设随机变量X的概率密度为

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?ax2?bx?c,0?x?1f(x)??，0,其他 ?已知E(X)?0.5,D(X)?0.15，求系数a,b,c. 解：由概率密度的性质?????f(x)dx?1,

而

?????11111f(x)dx??(ax2?bx?c)dx?a?b?c,a?b?c?1.0322所以有3(1)

111E(X)??x(ax2?bx?c)dx?a?b?c.0432 又因

1111a?b?c?0.5.32所以有4(2)

2222DX?EX?(EX),EX?DX?(EX). 因故

1111EX2??x2(ax2?bx?c)dx?a?b?c.0543 而

111a?b?c?0.15?0.25?0.443所以5 (3)

解由(1),(2),(3)所组成的方程组，得a?12,b??12,c?3.

?32?x,0?x?2,f(x)??8??0,其他.X42、设的概率密度为 试求：

（1）X的分布函数； （2）数学期望E(X2)。

解：（1）当x?0时， F(x)?0；当0?x?2时， 当x?2时， F(x)?1.

F(x)??x032x3tdt?88；

?0, 当x?0时?3?xF(x)??,当0?x?2时?8??1, 当x?2时综上，X的分布函数

E(X)??220 （2）

3x2x?dx?2.48

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43、设随机变量X代表某生物的一项生理指标，根据统计资料可认为其数学期望

E?X??73，标准差??7．试用切比雪夫不等式估计概率P(52?X?94)．

PX?73?21D?X??7解：因为P(52?X?94)=，而E?X??73，

728?1?2?P(52?X?94)219 由切比雪夫不等式，

44、设

2??X1,X2,,Xn2E(X)??,D(X)??X是总体的一个样本，若，样本方差

1nS?(Xi?X)2?2n?1i?1，试求E(S).

X1,X2,解：因

1nX??Xi,Xnni?1是总体X的一个样本，且，则由题意可知

E(X)??,D(X?)?2n

n21n122E(S)?E[(X?X)]?E[(X?nX)]??iin?1n?1i?1i?1故

221n?[?E(Xi2)?nE(X)] n?1i?1

因

2E(Xi2)?D(Xi)?[E(Xi)]2??2??22，

i?1,2,,n，

E(X)?D(X)?[E(X)]??2n??2

n1?222E(S)?[?(???)?n(??2)]??2n?1i?1n故

245、已知总体X服从b(1,p)(二点分布)，

X1,X2,?,Xn为总体X的样本，试求未知参数

p的最大似然估计．

解：X的分布律P（X?x)?p(1?p)x1?x, x?0,1

似然函数 L(p)?p?i?1nxin?(1?p)?xii?1n

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