中考二次函数压轴题及答案(9)

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，待定系数法求一次函数的解析式等，求得A的坐标是解题的关键．

9．（2015?鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．

（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】压轴题．

【分析】（1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；

（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=

m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用

配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标； （3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系． 【解答】解：（1）①y=∴C（0，2），A（﹣4，0），

由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称， ∴点B的坐标为1，0）．

②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），

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当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，

∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1）， 又∵抛物线过点C（0，2）， ∴2=﹣4a ∴a=∴y=

x2

x+2．

m2

m+2）．

（2）设P（m，

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q（m，m+2）， ∴PQ==

m2

m+2﹣（m+2）

m2﹣2m，

∵S△PAC=×PQ×4，

=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，

∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4， 此时P（﹣2，3）．

（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=， ∴∠CAO=∠BCO， ∵∠BCO+∠OBC=90°， ∴∠CAO+∠OBC=90°， ∴∠ACB=90°，

∴△ABC∽△ACO∽△CBO， 如下图：

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①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC； ②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ③当点M在第四象限时，设M（n，∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4 当

时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）

n2

n+2），则N（n，0）

整理得：n2+2n﹣8=0

解得：n1=﹣4（舍），n2=2 ∴M（2，﹣3）； 当

时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），

整理得：n2﹣n﹣20=0 解得：n1=﹣4（舍），n2=5， ∴M（5，﹣18）．

综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．

【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质． 10．（2015?衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由； （3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．

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【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】压轴题． 【分析】（1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2=BM2，可判定△ABM为直角三角形；

（3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立y=x，可得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式可求得m的范围． 【解答】解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点， ∴A（﹣1，0），

又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3， ∴B（2，3），

∵抛物线顶点在y轴上，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+c， 把A、B两点坐标代入可得

，解得

，

∴抛物线解析式为y=x2﹣1；

（2）△ABM为直角三角形．理由如：

由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1）， ∴AM=

，AB=

=

=3

，BM=

=2

，

∴AM2+AB2=2+18=20=BM2， ∴△ABM为直角三角形；

（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2

+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m， 联立y=x，可得

，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，

∵平移后的抛物线总有不动点，

∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根， ∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0， 解得m≤，

即当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．

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【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键．本题考查知识点较为基础，难度适中．

11．（2015?孝感）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．

①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；

②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】压轴题． 【分析】（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；

（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；

②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用

，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P

的坐标，代入直线y=kx即可求出k的值． 【解答】解：（1）∵直线y=x+4经过A，C两点， ∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4）， 又∵抛物线过A，C两点， ∴

，解得：

，

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