中考二次函数压轴题及答案(6)

如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C， 则点C在抛物线上，且C（，）． 当x=时，y=x+2=∴P2（，

）．

）均在线段AB上，

）．

．

∵点P1（3，5）、P2（，

∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，

【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识． 3．（2015?酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】压轴题． 【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；

（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣

t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即

可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．

【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），

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把点A（0，4）代入上式得：a=， ∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣∴抛物线的对称轴是：x=3； （2）P点坐标为（3，）．

理由如下： ∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，

∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）

如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．

x+4=（x﹣3）2﹣

，

设直线BA′的解析式为y=kx+b， 把A′（6，4），B（1，0）代入得

，

解得，

∴y=x﹣，

∵点P的横坐标为3， ∴y=×3﹣=， ∴P（3，）．

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣

t+4）（0＜t＜5），

如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，

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由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4， 把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4）， 此时：NG=﹣t+4﹣（t2﹣∵AD+CF=CO=5，

∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG?OC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+

，

，

t+4）=﹣t2+4t，

∴当t=时，△CAN面积的最大值为由t=，得：y=t2﹣∴N（，﹣3）．

t+4=﹣3，

【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用． 4．（2015?阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，

求线段DQ长度的最大值．

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【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】压轴题． 【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；

（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；

（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值． 【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得

，

解得

．

故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）． ∵S△AOP=4S△BOC，

∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．

整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0， 解得x=﹣1或x=﹣1±2． 则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2﹣4）；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得解得

． ，

，

即直线AC的解析式为y=x+3． 设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）， QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，

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∴当x=﹣时，QD有最大值．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 5．（2015?荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ； （3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】压轴题． 【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；

（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标． 【解答】解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4， ∴在Rt△COE中，OE=设AD=m，则DE=BD=4﹣m， ∵OE=3，

∴AE=5﹣3=2，

=

=3，

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