中考二次函数压轴题及答案(8)

（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，

∴当t=5时，OC=5，OD=3， ∴C（0，5），D（3，0）， 由勾股定理得：CD=，

设直线CD的解析式为：y=kx+b， 将C（0，5），D（3，0），代入上式得： k=﹣，b=5，

∴直线CD的解析式为：y=﹣x+5，

过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，

设直线EF的解析式为：y=﹣x+b， 将E（﹣2，0）代入得：b=﹣

，

，

∴直线EF的解析式为：y=﹣x﹣将y=﹣x﹣

，与y=﹣x2+3x+8联立成方程组得：

，

解得：，，

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∴P（，﹣）；

过点E作EG⊥CD，垂足为G， ∵当t=5时，S△ECD=∴EG=

，

，过点N作NM⊥x轴，垂足

=

，

过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=为M，如图2，

可得△EGD∽△DMN， ∴

，

即：，

解得：DM=∴OM=

，

，

由勾股定理得：MN=∴N（

，

），

=，

过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，如图2， 设直线NH的解析式为：y=﹣x+b，

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将N（，），代入上式得：b=， ，

∴直线NH的解析式为：y=﹣x+将y=﹣x+

，与y=﹣x2+3x+8联立成方程组得：

，

解得：，，

∴P（8，0）或P（，），

综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（或P（，

）．

，﹣

）或P（8，0）

【点评】此题考查了二次函数的综合题，主要涉及了以下知识点：用待定系数法

求函数关系式，函数的最值问题，三角形的面积公式及用二元一次方程组求交点问题等．解决（3）用到的知识点是两条平行线间的距离处处相等． 8．（2015?南昌）如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．

（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为 3 ，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是 ﹣1≤x≤1 ．

（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．

（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有

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【专题】压轴题． 【分析】（1）把二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3化成顶点式，即可求得最小值，分别求得二次函数L1，L2的y值随着x的增大而减小的x的取值，从而求得二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围；

（2）先求得E、F点的坐标，作MG⊥y轴于G，则MG=1，作NH⊥y轴于H，则NH=1，从而求得MG=NH=1，然后证得△EMG≌△FNH，∠MEF=∠NFE，EM=NF，进而证得EM∥NF，从而得出四边形ENFM是平行四边形；

（3）作MN的垂直平分线，交MN于D，交x轴于A，先求得D的坐标，继而求得MN的解析式，进而就可求得直线AD的解析式，令y=0，求得A的坐标，根据对称轴从而求得另一个交点的坐标，就可求得方程﹣a（x+1）2+1=0的解． 【解答】解：（1）∵二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3=a（x﹣1）2+3， ∴顶点M坐标为（1，3）， ∵a＞0，

∴函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，

∵二次函数L1的对称轴为x=1，当x＜1时，y随x的增大而减小；

二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1的对称轴为x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；

∴当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1≤x≤1； 故答案为：3，﹣1≤x≤1．

（2）由二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3可知E（0，a+3），

由二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1=﹣a2x﹣2ax﹣a+1可知F（0，﹣a+1）， ∵M（1，3），N（﹣1，1）， ∴EF=MN=

=2

，

∴a+3﹣（﹣a+1）=2， ∴a=﹣1，

作MG⊥y轴于G，则MG=1，作NH⊥y轴于H，则NH=1， ∴MG=NH=1，

∵EG=a+3﹣3=a，FH=1﹣（﹣a+1）=a， ∴EG=FH，

在△EMG和△FNH中，

，

∴△EMG≌△FNH（SAS）， ∴∠MEF=∠NFE，EM=NF， ∴EM∥NF，

∴四边形ENFM是平行四边形； ∵EF=MN，

∴四边形ENFM是矩形；

（3）由△AMN为等腰三角形，可分为如下三种情况：

①如图2，当MN=NA=2时，过点N作ND⊥x轴，垂足为点D，则有ND=1，DA=m﹣（﹣1）=m+1，

在Rt△NDA中，NA2=DA2+ND2，即（2）2=（m+1）2+12，

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∴m1=﹣1，m2=﹣﹣1（不合题意，舍去）， ∴A（﹣1，0）．

由抛物线y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）的对称轴为x=﹣1， ∴它与x轴的另一个交点坐标为（﹣1﹣，0）．

2

∴方程﹣a（x+1）+1=0的解为x1=﹣1，x2=﹣1﹣． ②如图3，当MA=NA时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，则有OG=1，MG=3，GA=|m﹣1|，

∴在Rt△MGA中，MA2=MG2+GA2，即MA2=32+（m﹣1）2， 又∵NA2=（m+1）2+12，

∴（m+1）2+12=32+（m﹣1）2，m=2， ∴A（2，0），

则抛物线y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）的左交点坐标为（﹣4，0）， ∴方程﹣a（x+1）2+1=0的解为x1=2，x2=﹣4． ③当MN=MA时，32+（m﹣1）2=（2）2， ∴m无实数解，舍去．

综上所述，当△AMN为等腰三角形时，方程﹣a（x+1）2=0的解为 x1=﹣1，x2=﹣1﹣或x1=2，x2=﹣4．

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