中考二次函数压轴题及答案(7)

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4﹣m）2，解得m=，

∴D（﹣，﹣5），

∵C（﹣4，0），O（0，0），

∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4）， ∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得a=， ∴抛物线解析式为y=x（x+4）=x2+（2）∵CP=2t， ∴BP=5﹣2t，

在Rt△DBP和Rt△DEQ中，

，

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL）， ∴BP=EQ， ∴5﹣2t=t， ∴t=；

（3）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2， ∴设N（﹣2，n），

又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3）， 设M（m，y），

①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时， 则线段EN的中点横坐标为∵EN，CM互相平分， ∴

=﹣1，解得m=2，

=﹣1，线段CM中点横坐标为

，

x；

又M点在抛物线上， ∴y=×22+

×2=16，

∴M（2，16）；

②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时， 则线段EM的中点横坐标为∵EM，CN互相平分， ∴=﹣3，解得m=﹣6， 又∵M点在抛物线上， ∴y=×（﹣6）2+

×（﹣6）=16，

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，线段CN中点横坐标为=﹣3，

∴M（﹣6，16）；

③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时， 则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣

）．

综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣

）．

【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判

定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 6．（2015?河南）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．

（1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】压轴题． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；

（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；

（3）根据题意当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，进而得出P点坐标以及利用△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A， ∴C（0，8），A（﹣8，0）， 设抛物线解析式为：y=ax2+c，

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则解得：

，

故抛物线的解析式为：y=﹣x2+8；

（2）正确，

理由：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8）， ∵D（0，6）， ∴PD=

=

=a2+2，

PF=8﹣（﹣a2+8）=a2，

∴PD﹣PF=2；

（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，

∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2， ∴PE+PD=PE+PF+2，

∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小， 此时点P，E的横坐标都为﹣4， 将x=﹣4代入y=﹣x2+8，得y=6，

∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点， ∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（﹣4，6）， 由（2）得：P（a，﹣a2+8），

∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），

①当﹣4≤a＜0时，S△PDE=（﹣a+4）（﹣a2+8）﹣[﹣?（﹣a2+8﹣6）

=

；

∴4＜S△PDE≤12，

②当a=0时，S△PDE=4，

③﹣8＜a＜﹣4时，S△PDE=（﹣a2+8+6）×（﹣a）×﹣×4×6﹣（﹣a﹣4）×（﹣a2+8）× =﹣a2﹣3a+4， ∴4≤S△PDE≤13，

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④当a=﹣8时，S△PDE=12，

∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个， 所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，

综上所述：11个好点，P（﹣4，6）．

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键．

7．（2015?桂林）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动． （1）直接写出抛物线的解析式： y=﹣x2+3x+8 ；

（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？

（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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【分析】（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+8；

（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8﹣t，然后令y=0，求出点E的坐

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标为（﹣2，0），进而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=﹣t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=（3）由（2）知：当t=5时，S最大=进而可得CD=

；

，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，

，从而确定C（0，5），D（3，0）然后根据待定系数法求出直

线CD的解析式为：y=﹣x+5，然后过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离为：垂足为N，且使DN=

，然后过点D作DN⊥CD，

，然后求出N的坐标，然后过点N作NH∥CD，与

抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标．

【解答】解：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：

，

解得：b=3，c=8，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+8， 故答案为：y=﹣x2+3x+8； （2）∵点A（0，8）、B（8，0）， ∴OA=8，OB=8，

令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，

解得：x18，x2=2，

∵点E在x轴的负半轴上， ∴点E（﹣2，0）， ∴OE=2，

根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t， ∴OD=8﹣t，

∴DE=OE+OD=10﹣t，

∴S=?DE?OC=?（10﹣t）?t=﹣t2+5t， 即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+∴ …… 此处隐藏：1490字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……