中考二次函数压轴题及答案(5)

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2016?深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线

与

x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】压轴题；开放型． 【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；

点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）； 由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6 ∵AB=10，∴AH=4， 设OC=x，则AC=8﹣x 由勾股定理得：x=3

∴点C的坐标为（3，0）

将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；

（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；

（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|． 当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线， |QA﹣QO|取得最大值4（即为AH的长）；

设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K， 当点Q与点K重合时，|QA﹣QO|取得最小值0． 【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分） ∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），

∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）． 将x=0，y=6代入抛物线的解析式，

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得．（2分）

．（3分）

∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为

（2）可得抛物线的对称轴为直线

，顶点D的坐标为，

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G． 直线BC的解析式为y=﹣2x+6.4分） 设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．

解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P， 连接AP，作PM⊥x轴于点M． ∵OP∥AD，

∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD． ∴

，

即．

解得经检验

．

是原方程的解．

．（5分）

，OM＜GA．

，

此时点P的坐标为但此时∵

∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，

∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）

解法二：如图，取OA的中点E，

作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于 点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．

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可得△PEN≌△DEG． 由

，可得E点的坐标为（4，0）．

．

NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=∴点P的坐标为∵x=时，

．（5分）

，

∴点P不在直线BC上．

∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）

（3）|QA﹣QO|的取值范围是

．（8分）

当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，

当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大， 直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6， 联立可得：交点为（0，6）， ∴OQ=6，AQ=10， ∴|QA﹣QO|=4，

∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．

【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．

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2．（2015?枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】几何综合题；压轴题． 【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．

（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．

（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解． 【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上， ∴

，解得

，

∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）， =﹣2n2+9n﹣4，

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=﹣2（n﹣）2+∵PC＞0，

，

∴当n=时，线段PC最大且为．

（3）∵△PAC为直角三角形，

i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．

由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在； ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．

如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=． 过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，

∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3， ∴M（3，0）．

设直线AM的解析式为：y=kx+b， 则：

，解得

，

∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ① 又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②

联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去） ∴C（3，0），即点C、M点重合． 当x=3时，y=x+2=5， ∴P1（3，5）；

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°． ∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x=2．

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