01~13年天津大学生数学竞赛试题(9)

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设limn??xn?a，则

a?limxn?limn??2(1?xn?1)2(1?a)?，

n??2?x2?an?1解之得a?2，即limxn?2。

n????y?1?z2十、计算曲面积分I???xzdydz?sinxdxdy，其中?是曲线????x?02(1?z?2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题7分）

解： 旋转曲面的方程为x2?y2?z2?1。补充曲面

?x2?y2?5,其法线向量与z轴正向相反；和 ?1:??z?2,?x2?y2?2,其法线向量与z轴正向相同。 ?2:??z?1,设由曲面?,?1,?2所围空间区域为?，则

I???xz2dydz?sinxdxdy?????1??2222xzdydz?sinxdxdy?xzdydz?sinxdxdy?xz??????dydz?sinxdxdy?1?2????z2dxdydz??222x2?y2?5??sinxdxdy?x2?y2?22sinxdxdy??z???dz12x2?y2?1?z2??dxdy?0?0

?z3z5?2128????z?(1?z)dz?????????3?11515??十一、设P(x,y),Q(x,y)具有连续的偏导数，且对以任意点(x0,y0)为圆心，以任意正数r为半径的上半圆L：x?x0?rcos?,y?y0?rsin?L(0????)，恒有

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0。

证明：P(x,y)

?0,?Q(x,y)?0（本题8分）

?x证明：记上半圆周L的直径为AB，取AB+L为逆时针方向；又命D为AB+L所包围的区域。由格林

公式有

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???ABP(x,y)dx?Q(x,y)dy??AB?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??P(x,y)dx?Q(x,y)dyL??Q?P?P(x,y)dx?Q(x,y)dy??????x??y??dxdyAB?L?D?

??Q?P???Q?P??r2二重积重积分中定理???x??y??M??dxdy????x??y??M?2??1D??1其中：M1?D为某一点。另一方面

x0?r?ABP(x,y)dx?Q(x,y)dy??x0?rP(x,y0)dx积分中值定理P(?,y0)?2r(x0?r???x0?r)。 于是有

??Q?P??r2???x??y??M?2?P(?,y0)?2r， ??1即????Q?P??r????2P(?,y0)。 ?M??x?y?12命r?0，两边取极限，得到P(x0,y0)?0，由(x0,y0)的任意性知P(x,y)?0；且

lim?Q(x,y)?Q(x,y)?0，即?0。

r?0(x0,y0)M1?x?x类似

?Q(x,y)?0。

?xf(x)在[0，1]上连续，且?f(x)dx?0,?xf(x)dx?1，试证：

0011十二、设函数⑴?x0⑵?x1?[0,1]，使得f(x0)?4；

?[0,1]，使得f(x1)?4。（本题8分）

证明： ⑴ 使用反证法，即假设当x?[0,1]时，恒有

1f(x)?4成立，于是有

1?111?11?x?f(x)dx?x?f(x)dx?4x????0?2??02?02dx?1。

111x?f(x)dx?1，4?x?dx?1。

022因此有

?10从而有

?10x?1?4?f(x)?dx?0。 2 27

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于是有

f(x)?4，即f(x)??4，这显然与?0f(x)dx?0矛盾，故?x0?[0,1]，使得

1f(x0)?4为真。

⑵ 仍然使用反证法。 只需证?x2连续性知，必有

?[0,1]，使得f(x2)?4即可。这是显然的，因为若不然，则由f(x)在[0，1]上的

f(x)?4或f(x)??4成立，这与?f(x)dx?0矛盾，再由f(x)的连续性及⑴的

01结果，利用介值定理即可证得?x1

?[0,1]，使得f(x1)?4。

2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．

x???lim4x2?x?1?x?1x?sinx2? 1 。

t??x?esin2t2．曲线?，在点(0,1)处的法线方程为 2x＋y－1=0 。

t??y?ecostx3?13．设

f(x)为连续函数，且?0f(t)dt?x，则f(7)?

1 。 124．函数u?lnx?y2?z2??在点

A(1,0,1)处，沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为

1 。 25．设(a×b)·c = 2，则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)= 4 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

11． 设函数⑴ 若⑵ 若

f(x)与g(x)在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题，

f(x)?g(x)，则f?(x)?g?(x)； f?(x)?g?(x)，则f(x)?g(x)。

则（ B ）

（A）两个命题均正确； （B）两个命题均不正确；

（C）命题⑴正确，命题⑵不正确； （D）命题⑴不正确，命题⑵正确。 12． 设函数

f(x)连续，F(x)是f(x)的原函数，则（ A ）

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(A) 当(B) 当(C) 当(D) 当

f(x)为奇函数时，F(x)必为偶函数； f(x)为偶函数时，F(x)必为奇函数； f(x)为周期函数时，F(x)必为周期函数；

f(x)为单调递增函数时，F(x)必为单调递增函数。

z?6?0之间，且将此

13． 设平面?位于平面?1：x?2y?z?2?0与平面?2：x?2y?两平面的距离分为1:3，则平面?的一个方程为（ D ）

（A）x?2y?（C）x?2y?z?0； （B）x?2y?z?8?0；

z?8?0； （D）x?2y?z?3?0。

则当t→0时（ C ） ???f(x,y,z)dxdydz，

14． 设

f(x,y,z)为非零的连续函数，F(t)?x2?y2?z2?t2（A）F(t)与t为同阶无穷小； （B）F(t)与t2为同阶无穷小； （C）F(t)与t3为同阶无穷小； （D）F(t)是比t3高阶的无穷小。 15． 设函数

y?y(x)满足等式y???2y??4y?0，且y(x0)?0,y?(x0)?0，则y(x)在点

x0处（ A ）。

（A）取得极小值； （B）取得极大值；

（C）在点x0的一个邻域内单调增加； （D）在点x0的一个邻域内单调减少。 三、求函数解：要求

2（本题6分） f(x)?e?xsinx2的值域。

?x22f(x)?esinx2的值域，只需求出函数的最大值与最小值即可。注意到：函数

f(x)?e?xsinx2为偶函数，故只需考虑x≥0的情况。为计算方便，命t=x2，得到

g(t)?e?tsint,t?0，

显然，g(t)与

f(x)有相同的值域。求g(t)的驻点：

g?(t)??e?tsint?e?tcost?e?t(cost?sint)。

命g?(t)?0，得到驻点tk??4?k?(k?0,1,2,?)，其对应的函数值为

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g(tk)?e??????k??4???ksin??k?????1??4????k??2???4?， e2???2?4g(t2m)?0，e；显然，当k=2m(m=0,1,2,…)时，其中最大值为g(t0)?当k=2m+1 (m=0,1,2,…)

22?4e时，g(t2m)?0，其中最小值为g(t1)??25???2?42?4值域为：???2e,2e?5??。于是得到函数g(t)的值域，亦即函数f(x)的

??。 ??

?x??2z?2z?y?,四、设z?f?xy,??g??，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数。求。2?y??x?y?xx?????z?1?y?yf1?f2?2g?， ?xyx（本题6分）

解：

??2z1??1?1??2yy2???y?yf11?f12???yf21?f22??3g??4g??2????yy?xx??y??x

2y??1?2y?y2f11?2f12?2f22?3g??4g??yxx??2z1?1?1y??x???x???????f1?y?xf?f?f?xf?f?g?g??1122122?212?2223???x?yy?yyx??y?x

y?1??x?1?f1?2f2?xyf11?3f22?2g??3g??yyxx五、设二元函数u(x,y)在有界闭区域D上可微，在D的边界曲线上u(x,y)?0，并满足

?u?u??u(x, …… 此处隐藏：2040字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……