01~13年天津大学生数学竞赛试题(7)

21 3 。

4．由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz =

dx?2dy 。

5．设

1z?f(xy)?y?(x?y)x，其中 f 、

?具有二阶连续导数，则

?2z? ?x?yyf??(xy)???(x?y)?y???(x?y) 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

6． 已知lim

1?f(x)tanx?1e?12xx?0?3，则limf(x)?( A )

x?0（A） 12； （B）3； （C） 1； （D）0。 7． 设函数

f(x)在

x0的一个邻域内有定义，则在

x0点处存在连续函数

g(x)使

f(x)?f(x0)?(x?x0)g(x)是f(x)在x0点处可导的（ C ）

（A）充分而非必要条件； （B）必要而非充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分，也非必要条件。 8． 设

?x2,f(x)???2?x,0?x?11?x?2F(x)??f(t)dt，则F(x)=（ D ）

0x(A)

?x3,0?x?1??3; (B) ?2?1?2x?x,1?x?2?2?3?x3,0?x?1??3; ?2?2x?x,1?x?2?2??x3,0?x?1??3。 ?2??7?2x?x,1?x?2?2?6(C)

?x3,0?x?1??3; (D) ?32?x?2x?x,1?x?2?2?39． 函数

f(x,y)?

xy，在点(0,0)处f(x,y)（ B ）

（A）可微； （B）偏导数存在，但不可微；

（C）连续，但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在。 10． 设

?(x)为区间

[0,1]上的正值连续函数，

a与

b为任意常数，区域

D??(x,y)0?x,y?1?，则??Da?(x)?b?(y)dxdy?（ D ）

?(x)??(y) 21

22

（A）a； 三、设函数

（B）b； （C）a?b； （D）

1 ?a?b?。

2f(x)在点x?0的某邻域内具有二阶导数，且

f(x)??lim?1?x??e3。 ?x?0x??1x求：

f(x)??f(0)，f?(0)，f??(0)及lim?1??x?0x??解：因为

1x。（本题6分）

1xlimln?1?x?f(x)??x?0x3?e?lim?1?x??e?x?0x??1?f(x)??x?，

所以

lim1?f(x)?ln?1?x???3。 x?0xx??f(x)??limln?1?x???0， x?0x?? 由无穷小比较，可知

x?以及

limx?0f(x)x?3。 x 从而

1?f(x)?3??，其中lim??0， 2x?0xf(x)?2x2?o(x2)。

即

由此可得

f(0)?0，f?(0)?0，f??(0)?4。

1x221x 并有

?2x?o(x)?f(x)???lim?1?1??e2。 ??lim???x?0x?0x?x??? 四、计算解：

ln(1?x)?lnx（本题6分） ?x(1?x)dx。

ln(1?x)?lnx1??1??dx?ln(1?x)?lnx???dx?x(1?x)?x1?x??

ln(1?x)lnx?ln(1?x)lnx??????dx?dx?dx???x?x1?x?1?x

1lnxlnx??ln2(1?x)?ln2x?lnx?ln(1?x)??dx??dx21?x1?x12???ln(1?x)?lnx??C2?? 22

23

五、求函数

f(x)?x2ln(1?x)在x?0点处的100阶导数值。（本题6分）

解：方法一：利用莱布尼兹公式

f(100)(x)?x2?ln(1?x)?又

(100)?100?ln(1?x)?(99)?(2x)?100?99?ln(1?x)?(98)?2， 2?ln(1?x)????ln(1?x)?(4)由归纳法可得

112!???,?ln(1?x)???,ln(1?x)'''?,1?x(1?x)2(1?x)3

3!??,??(1?x)4(n?1)!(1?x)n。

?ln(1?x)?(n)?(?1)n?1故

?ln(1?x)?(98)?(?1)98?1f(100)97!97!??(1?x)98(1?x)98。

所以

(0)??990?97!。

方法二：利用泰勒公式

x4x5x100f(x)?x???????23983，故

11f(100)(0)??100!98，

f(100)(0)??990?97!。

六、设

f(x)为定义在(??,??)上，以

T > 0为周期的连续函数，且

?T0f(x)dx?A。求

x???lim?x0f(t)dtx。（本题7分）

解：对于充分大的x > 0，必存在正整数n，使得

nT?x?(n?1)T又

kTT2TkT。

?0f(t)dt??f(t)dt??0Tf(t)dt????x(k?1)Tf(t)dt?k?f(t)dt?kA,0T(k?1,2,?)，

故有

nA??f(t)dt?(n?1)A，

0及

f(t)dtnA?0??(n?1)T(n?1)TnT?x0f(t)dtx??(n?1)T0f(t)dtnT?(n?1)A。

nT注意到：

limnA(n?1)AA?lim?，

n??(n?1)Tn??nTT23

24 且当n???时，x???。由夹逼定理可知

x???lim?x0f(t)dtx?A。 T七、在椭球面2x???2?2y2?z2?1上求一点，使函数f(x,y,z)?x2?y2?z2在该点沿方向

（本题8分） l?i?j的方向导数最大。

解： 函数

f(x,y,z)的方向导数的表达式为

?f?f?f?f?cos??cos??cos??l?x?y?z。

其中：cos??12,cos???12,cos??0为方向l?的方向余弦。因此

?f?2(x?y)。 ?l

于是，按照题意，即求函数

2(x?y)在条件2x2?2y2?z2?1下的最大值。设

F(x,y,z,?)?2(x?y)??(2x2?2y2?z2?1)，

则由

??f??x???f???y???f??z???f????得z

?2?4?x?0??2?4?y?0

?2?z?0?2x2?2y2?z2?1?0?0以及x??y??1?11??11?，即得驻点为M1??,?,0?与M2???,,0?。 2?22??22?因最大值必存在，故只需比较

?f?f?2，??2， MM?l1?l2的大小。由此可知M1?11???,?,0?为所求。 ?22?2n八、设正整数n?1，证明方程x?a1x2n?1???a2n?1x?1?0至少有两个实根。（本题6分）

24

25

证明：设

f(x)?x2n?a1x2n?1???a2n?1x?1，则其在区间(??,??)上连续，且f(0)??1，

limf(x)???。

x??因而，当x???时，必存在x1?0，使得f(x1)?0。由连续函数的介值定理可知，至少有一点

?1?(0,x1)，使得f(?1)?0。

同理，当x点?2???时，必存在x2?0，使得f(x2)?0。由连续函数的介值定理可知，至少有一

?(x2,0)，使得f(?2)?0。

综上可知，方程x2n?a1x2n?1???a2n?1x?1?0至少有两个实根。

九、设x0?0,xn?2(1?xn?1)2?xn?1(n?1,2,?)。证明limxn存在，并求之。（本题8分）

n??证明： 证明limn??xn存在：

注意到：对于一切的n恒有

xn?1?xn?1?1，

2?xn?1xn?2?因此知数列

2?2，