01~13年天津大学生数学竞赛试题

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2001-2012年天津市大学数学竞赛试题集

2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）

1. 函数

?e2x?1?，x?0；f(x)??在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。 x2??acosx?x，x?0，x?y2. 设函数y = y(x) 由方程e?cos(xy)?0所确定，则dyx?0? ?dx 。

3. 由曲线

y??x3?x2?2x与x轴所围成的图形的面积A =

37 。 124. 设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则

?Ecosxsinxdx?

8 。 3x2?y2?1，其周长为l ，则?xy?x2?4y2ds? 4l 。 5．设L是顺时针方向的椭圆

L4??

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1. 若lim

（A） （C）

x?x0?(x)?u0且limf(u)?A，则（ D ）

u?u0x?x0x?x0limf[?(x)]存在； （B） limf[?(x)]?A limf[?(x)]不存在； （D） A、B、C均不正确。

sinxx?x0

2. 设（A）（C）

f(x)??0sin(x2)dx，g(x)?x3?x4，则当x?0时，（ A ）

f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小； （B）f(x)与g(x)为等价无穷小； f(x)是比g(x)更高阶的无穷小； （D）f(x)是比g(x)更低阶的无穷小。

f(x)对任意x都满足f(x?1)?af(x)，且f'(0)?b，其中a、b均为非零常数，

3. 设函数则

f(x)在x = 1处（ D ）

（A）不可导； （B）可导，且（C）可导，且

f?(1)?a；

f?(1)?b； （D）可导，且f?(1)?ab。

1

2

st04. 设

f(x)为连续函数，且f(x)不恒为零，I=t?f(tx)dx，其中s > 0，t > 0，则I的值（ C ）

（A）与s和t有关； （B）与s、t及x有关； （C）与s有关，与t无关； （D）与t有关，与s无关。

?u?2u?0及5. 设u (x，y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足

22?2u?2?0，?x?y?x?y则（ B ）。 （A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部； （B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

（C）u (x，y) 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u (x，y) 的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。

以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。

2?x2

三、求极限limcosx?ex?0x2[2x?ln(1?2x)] 。（本题6分） 解：cosx?1?x22!?x44!?o(x4)； 2?x2

e2?1?x21?x2?x2x442?2!????2????o(x)?1?2?8?o(x4)；

ln(1?2x)??2x?12(?2x)2?o(x2)??2x?2x2?o(x2)；

由此得到：

x2x4?x21???o(4?x2x4?limcosx?e2!4!x)???1?2?8?o(x42)??x?0x2[2x?ln(1?2x)]?limx?0x2?2x?2x?2x2?o(x2)?

?1x4?o(x4)

?lim121x?0?2x4?o(x4)?24 。 ??

四、计算

?xe?x0?。

1?e?x?2dx（本题6分）

解

x???xe???xex0?1?e?x?2dx??0?1?ex?2dx????xd???1??1?ex????x??01?ex0????101?exdx

????101?exdx

2

：

3

命：e??x1?t，则dx?dt，于是

t

??1?e?0xe?x?x2dx????1???111?t??dt?????ln2 ?dt?ln11t(1?t)tt?11?t??

?2u?2u2u'(x,2x)?x五、设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，，，?且u(x,2x)?x1?x2?y22x)。求u11''(x，（本题6分）

解：u(x,2x)?x两边对x求导，得到

u'1(x,2x)?2u'2(x,2x)?1

代入u'1(x,2x)?x2，求得

1?x2u'2(x,2x)?2

，

u'1(x,2x)?x2两边对x求导，得到

u11''(x,2x)?2u12''(x,2x)?2x， u21''(x,2x)?2u22''(x,2x)??x。

1?x2u'2(x,2x)?2

两边对x求导，得到

?2u?2u以上两式与已知?2联立，又二阶导数连续，所以u12''?u21''，故 2?x?y4u11''(x，2x)??x。

3

六、在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分） 解：设三角形的三条边长分别为x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积S的平方为

S2?p(p?x)(p?y)(p?z)

则本题即要求在条件x + y + z = 2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S2达到最大值。 设

f(x,y)?S2?p(p?x)(p?y)(x?y?p)，

问题转化成求

f(x,y)在

D??(x,y)0?x?p,0?y?p,p?x?y?2p?

上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x + y > z，而由假设x + y + z = 2p，即 z = 2p－（x + y），故有x + y > z = 2p－（x + y），所以有x + y > p。

?fx'?p(p?y)(2p?2x?y)?0由?，

f'?p(p?x)(2p?x?2y)?0?y3

4

求出

?2p2p?,因f(x,y)在有界闭区域D上连续，故f(x,y)在f(x,y)在D内的唯一驻点M???。?33?D上有最大值。注意到f(x,y)在D的边界上的值为0，而在D内的值大于0。故f(x,y)在D内取得

它在D上的最大值。由于有

4?2p2p?pmaxf(x,y)?f?,??(x,y)?D?33?27f(x,y)在D内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M处取得。于是

，

此时x = y = z =

2p，即三角形为等边三角形。 31214yyx1yyx七、计算I

（本题8分） ??dy?1edx??1dy?edx。

22y解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到

31I??dy?1edx??1dy?edx??1dx?2edy??1x(e?ex)dx?e?e。

yx822222y1y1x11214yxyxyx

八、计算曲面积分I???x3?az2dydz?y3?ax2dzdx?z3?ay2dxdy，其中

???????Σ为上半球面z

?a2?x2?y2的上侧。（本题7分）

解：记S为平面z = 0（ x2 + y2 ≤ a2 )的下侧，Ω为Σ与S所围的空间区域，

I???S???x3?az2dydz?y3?ax2dzdx?z3?ay2dxdy??????????3?xS?2?0???x3?az2dydz?y3?ax2dzdx?z3?ay2dxdy2??????y2?x2dxdydz??20a42??x2?y2?a2??ay22dxdya

?3?d??sin?d??rdr??asin?d??r3dr0006129??a5??a5??a55420

九、已知a>0，x1>0，定义

xn?1求证：

1?a????3xn?3?4?xn???n?1,2,3,??

n???（本题8分） limxn存在，并求其值。

4

5

解：第一步：证明数列

?xn?的极限存在：

??1??xn?xn?xn?a?≥4xnxnxna?4a，因此数列?xn?3?3?4?xn?xnxn+1≤xn ，所以

注意到：当n ≥ 2时 …… 此处隐藏：2121字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……