01~13年天津大学生数学竞赛试题(3)

五、设方程x4?ax?b?0，

⑴ 当常数a ，b满足何种关系时，方程有唯一实根？ ⑵ 当常数a ，b满足何种关系时，方程无实根。（本题7分）

解：设

y?x4?ax?b，－∞

y??4x3?a

命值为

y??0得唯一驻点x?3?a4，又

y???12x2?0，故当x?3?a4时，y有最小值。且最小

yx?3?a4?a??a??????a????b ?4??4?8

4313

9 又当x →－∞时，y →＋∞；x →＋∞时，y →＋∞，因此，

⑴ 当且仅当??43?a??a???a????b?0时，方程有唯一实根。 ?4??4?134313⑵ 当??

?a??a???a????b?0时，方程无实根。 ?4??4?六、在曲线y = x2（x ≥ 0）上某点A作一切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为⑴ A点的坐标；

⑵ 过切点A的切线方程；

⑶ 该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。（本题8分）

1，试求： 12

解：⑴设A点坐标为 (x0，y0)，则y0 = x02，于是可知切线方程

y?x0y ― x02 = 2x0（x ― x0）即x?2x0由题设，有

2。

23??1?12?x02x02?y?x122?02????y?y?x0y??y???dy??2x?0122x2?3?00?0???1?1423134??x?x?x0?x0?00?2x0?212?31132故有?x0即x0?1，y0?x0?1，得A(1，1)。

1212

⑵ 切线方程为

y?1?2(x?1)，即y?2x-1。

⑶ 在上述切线方程中令y = 0，得到xx022x0?x1?21，故所求旋转体的体积 214102V???(x)dx???(2x?1)dx???xdx???1(2x?1)20x11d(2x?1)2

?1??1?????(2x?1)35?23?

七、计算

1????????1??56302?1（本题7分） ?(x2?1)3dx。

解：解法1 命In??1dx，则有 2n(x?1) 9

10

I1??I2??1x2x?x??dx??x?dx??2I1?2I2，于是有 2222?2??x?1x?1x?1?(x?1)?

1?x??I1?。 ?22?x?1???1x2xxdx??x(?2)dx??4I2?4I3， 22222322?(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)同理I2所以有

I3??11?xx3x3?3I???arctanx?C。 2??2224?(x2?1)2488(x?1)x?1?解法2 命x?tan?，则

I3??11?31?24secθdθ?cos?d???2cos2θ?cos4θ??d???4?22sec6θ??2x1?3112x1x??3???4??θ?sin2θ?sin4θ?C??arctanx?2?(x2?1)2x2?1???C4?288432x?1????33x1x?arctanx???C22288x?14(x?1)

八、设u?f(x,y,z),?(x2,y,z)?0,y?sinx，其中f,?具有连续的一阶偏导数，且

??du（本题7分） ?0，求。

?zdx

解

：

将

y

=

sinx

代

入

u?f(x,y,z),?(x2,y,z)?0，得到

u?f(x,sinx,z),?(x2,s(x) ，所以

2xi,z)n?0，显然方程?(x,sinx,z)?0确定了 z 是x 的隐含数 z = z

du???????f(x,sinx,z)?x?f1?f2cosx?f3zx dx?????2又由 ?(x,sinx,z)x??12x??2cosx??3zx?0，

??得到

九、求

??2x?1??2cosx?du???f1?f2cosx?f3。

?dx?3f(x,y)?x2?2x2y?y2在S?(x,y)x2?y2?1?（本题7?上的最大值与最小值。

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