01~13年天津大学生数学竞赛试题(5)

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所以，

f?(x)在点x = 0处连续。

x??2??2??求函数F(x)?f(x)在[1,??)上连续，?lnx??lnt?????f(t)dt的?1???t????x五、设正值函数

最小值点。（本题6分）

解：

F?(x)?x?2?d??2?x??lnxf(t)dt??lntf(t)dt???????1?tdx??1???x??21?x?2??2??21?x???2???f(t)dt???lnx?f(x)???lnx?f(x)???2???f(t)dtx?1x?1?x?x??x??x

注意到：在[1,??)上命：F?(x)又，当1?f(x)?0，因此，当x > 1时，?f(t)dt?0。

1x?0，得?21??0，解此方程得到唯一驻点 x = 2。 2xxx?2时，F?(x)?0；当x > 2时，F?(x)?0，所以F(x)在点x = 2处取得极小值

F(2)，又因为x = 2是唯一的极值点，所以x = 2是F(x)的最小值点，最小值为F(2)。

2六、设y?(x)?arctan(x?1)，且y(0)?0，求?y(x)dx。（本题6分）

10解：

?y(x)dx?xy(x)??xy?(x)dx?y(1)??xarctan(x?1)2dx000011001111?y(1)??(x?1)arctan(x?1)2dx??arctan(x?1)2dx?y(1)??(x?1)arctan(x?1)2dx??y(1)?y(0)????(x?1)arctan(x?1)2dx

00命x?1?t命u?t111022???tarctantdt???arctantd(t)?arctanudu?12?12?0111u11?1?121?uarctanu??du???ln(1?u)??ln20201?u2084224402211??2z?2z?2z1?z?u?x?ay?0，七、设变换?，把方程试确定a 。（本?y2???0化为2?u?v2?y?x?y??v?x?2y题7分）

解： 计算一、二阶偏导数

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?z?z?z??,?x?u?v?z?za?z11?a?z?z????????,???y?u2y?vyy?2?u?v?

?2z?2z?2z?2z??2?,?u?v?v2?x2?u232222?2z1?2?a?z?z?1??za?za?z1???,??y??????????222?2?yy??u4y?u?vy?vy??2?u?v??