01~13年天津大学生数学竞赛试题(10)

31

?u?x然而，由题设知

(x0,y0)??u?y(x0,y0)?0。

?u?u??u(x,y)，因此应有u(x0,y0)?0，这与u(x0,y0)?M?0的假?x?y?0的情况。

设矛盾；同理可证：u(x1,y1)因此可知在D上u(x,y)六、设二元函数（本题7分）

?0。

(t,t2)且f(x,y)具有一阶连续偏导数，?(0,0)求f(x,y)。f(x,y)dx?xcosydy?t2，

解：注意到：被积函数P(x,y)有

?f(x,y),Q(x,y)?xcosy，由于此积分与路径无关，所以必

?P?Q?f??cosy，即有?cosy， ?y?x?y从而有

f(x,y)?siny?C(x)，代入原积分式，得到

??siny?C(x)?dx?xcosydy?t(0,0)(t,t2)2，

即

?C(x)dx??0tt20tcosydy?t2，

?t0C(x)dx?tsint2?t2。

C(t)?sint2?2t2cost2?2t，

将上式两端对t求导，得到： 即

从而得到

C(x)?2x?sinx2?2x2cosx2，

f(x,y)?siny?2x?sinx2?2x2cosx2。

交于点A，过坐标原点O和点A的

七、设曲线

2y?ax2(a?0,x?0)与y?1?x直线与曲线

y?ax2围成一平面图形，试问：

⑴ 当a为何值时，该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大？ ⑵ 最大体积为多少？（本题7分）

解：当x≥0

2??y?ax时，由?2??y?1?x，解得A

1?x???1?a点的坐标为??y?a?1?a?，故直线OA的方程为

31

32

y?ax1?a。

于是，平面图形绕x轴一周所得的旋转体体积为：

232??ax?2??axa245???V(a)???1?a????axdx???x?????0??31?a51?a????????152211?a0?2?a215?1?a?52。

352a?1?a??a??1?a?2dV(a)2??(4a?a2)2上式两边对a求导：???(a?0)。 57da15?1?a?15?1?a?2命

dV(a)?0，得到a=4。由于a=4是当a?0时V(a)的唯一驻点，且由问题的实际意义可知存da在最大体积，故V(a)在a=4时取最大值。其最大体积为：

V(4)??2?4215?1?4?52?325?1875。

x2y2???z2?1的上半部分，八、设S为椭球面点P(x,y,z)?S，

22为S在点P处的切平面，

?(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面?的距离，求??SzdS。（本题7分）

?(x,y,z)解：设(X,Y,Z)为?上任意一点，则?的方程为

xXyY??zZ?1， 22从而知

?(x,y,z)????x2y2?由z?1???2?2??，有

???x?y??z2??4?4?22?12。

?z??x?z?y?，

2222?y?x?xy?y????21???21???2??2?2???2?,22?x于是

??z???z??dS?1?????d??????x???y?4?x2?y2?xy??21????2?2??22d?。

32

33 所

2z112?3?222dS?4?x?yd??d?4?rrdr????0?(x,y,z)4??4?02SD以

????。

sinxcosx2dx?九、证明?2（本题8分） ?01?x2dx。01?x2证明：方法一（利用积分估值定理）

?????sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosx42命I??2dx?dx?dx， ?222??001?x1?x1?x4对上式右端的第二个积分，取变换t????2?x，则dx??dt，于是

??sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosxcost?sint244I??4dx?dx?dx???41?x2?01?x2?0???2dt01?x21??t??2????????11??4???sinx?cosx??dx??4?sinx?cosx??2200?1?x????1??x????1?x22???????24??xdx??2??????1??x?????2????

注意到：被积函数的两个因子在区间

???

0,???4?

上异号（

sinx?coxs?0，

?24??x?0），由积分估值定理得知必有I≤0，即知原不等式成立。

?2?????2?1?x1??x?????2?????方法二（利用积分中值定理）

sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosx42命I??2dx?dx?dx， ?222??001?x1?x1?x4由积分中值定理，并在区间

????????,?x，同时注意到：?1??2，得上取变换t???2?42?1?2I??11??1122??sinx?cosx?dx?1?????sinx?cosx?dx40224?1??1??sinx?cosx?dx?1???4022?1?40??11?4?cost?sint?dt???cosx?sinx?dx?0?22??01??1??1??2 33

34 …… 此处隐藏：198字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……