01~13年天津大学生数学竞赛试题(2)

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证明：由积分中值定理知，存在???3?,1?，使得 ??4?1341f(?)?1?34又函数

?f(x)dx?4?3f(x)dx?f(0)

41f(x)在区间

?0,????0,1?上连续，?0,??内可导，由罗尔定理知，至少存在一点

???0,????0,1?，使得f'(?)?0。

十二、设

f(x)在区间[a,??)上具有二阶导数，且

。（本题8分）

f(x)?M0，0?f''(x)?M2，

(a?x???)。证明f'(x)?2M0M2

证明：对任意的x?[a,??)，及任意的h > 0，使x + h ∈ (a，+∞)，于是有

f(x?h)?f(x)?f'(x)h?即

1f''(?)h2，其中??[h,x?h]。 2!1hf'(x)??f(x?h)?f(x)??f''(?)

h2f'(x)?2M0h?M2，（x?[a,??)，h > 0） h2故

命g(h)?2M0h?M2，试求其最小值。 h2命g'(h)??M02M01?M?0h?2，得到202M2h24M0?0， 3h，

g''(h)?所以，g(h)在h0?2M0M2处得极小值，亦即最小值，

g(h0)?2M0M2故

。

f'(x)?2M0M2

，（x?[a,??)）。

2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

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7 一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

2x2?11sin?1．limx??3x?1x2．设摆线方程为?23。

?x?t?sint?则此曲线在t?3?y?1?cost处的法线方程为

y??13x??33。

3．

???edx?x(1?ln2x)z?x?xy?y22?4。

?4．设在点(－1,1)处沿方向

l?15?2，1?的方向导数

?z??l?352。

dS5．设Σ为曲面x?y?R介于0≤Z≤R的部分，则?222???x?y?z22?22。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

11. 曲线

y?ex2x2?x?1的渐近线有（ B ） arctan(x?1)(x?2)（A） 1条； （B） 2条； （C） 3条； （D） 4条。 2. 若

f?(x)?[f(x)]2，则当n>2时f(n)(x)?（ A ）

(x)]n?1； （B）n[f(x)]n?1；

（A）n![f（C）[f(x)]2n； （D）n![f(x)]2n。

3. 已知函数f (x)在（－∞，+∞）内有定义，且x0是函数f (x)的极大值点，则（ C ） （A）x0是f (x)驻点； （B）在（－∞，+∞）内恒有f (x)≤f (x0)； （C）－x0是－f (－x)的极小值点； （D）－x0是－f (x)的极小值点。

?xy,?224. 设z??x?y?0,?x2?y2?0，则z = z (x,y)在点（0，0）（ D ）

x2?y2?0（A）连续且偏导数存在； （B）连续但不可微； （C）不连续且偏导数不存在； （D）不连续但偏导数存在。 5. 设I????(ex?ey?ez)dv，其中Ω：x2+y2+z2≤1，z≥0则I?（ D ）

? 7

8

（A）（C）

zx； （B）3edv3e??????dv； ??zyxz； （D）(2e?e)dv(2e?e)dv。 ????????2arctanx?ln

三、已知极限lim解

x?0xn1?x1?x?C?0，试确定常数n和C的值。

（本题6分）

：

2arctanx?lnlim，

故nx?0xn2111?x??2?41?x?lim1?x21?x1?x?lim1??4x?limx?0x?0nxn?1nxn?11?x4x?0nxn?3(1?x4)?3,C??4。 3??t2f(t?x)dt，求g?(x)。（本题6分）

0x四、已知函数f (x) 连续，g(x)解：命u = t － x，则当 t = 0 时，u = －x；t = x 时，u = 0，于是

g?(x)??uf(u)du?2x?uf(u)du?x?f(u)du?x???x(u?x)f(u)du??x?(?1)????00???0??x?x2????xf(?x)?2?uf(u)du?2x(?x)f(?x)(?1)?2x?f(u)du?x2f(?x)(?1)???00??2220??x?x?x???2?uf(u)du?2x?0?x?x0f(u)du