01~13年天津大学生数学竞赛试题(11)

十、设正值函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续，?f(x)dx?A，证明：

ab?（本题8分）

baf(x)ef(x)dx?ba1dx?(b?a)(b?a?A)。 f(x)证明：化为二重积分证明。记D?bb?(x,y)a?x?b,a?y?b?，则原式

左边??f(x)ef(x)dx?aa1f(x)f(x)f(y)f(y)dy???edxdy???edxdyf(y)f(y)f(x)DDf(x)?f(y)21?f(y)f(y)f(x)f(x)?????e?e?dxdy???e2D?f(x)f(y)?Dbbaaf(x)f(y)??dxdy????1??dxdy?22?D??(b?a)2??dy?f(x)dx?(b?a)(b?a?A)

十一、设函数

f(x)在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ

∈(a,b)，使得

4(b?a)2（本题7分）

证明：将函数

???a?b?f(a)?2f?f(b)?f??(?)。 ?????2???a?b处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到 22f(x)在点x0?a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b????f(a)?f??fa??f(?)a?,其中?????????a，?1?12?2!2?2??2??2????；

2a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b?f(b)?f?,b???f????b???f??(?2)?b??,其中?2??2222!22??????????。

两式相加得到

1?a?b??b?a?f(a)?2f???f(b)??f??(?1)?f??(?2)???22!2????由于

2。

f??(x)连续，由介值定理知，存在????1,?2?使得f??(?)?f??(?1)?f??(?2)，从而得

21?a?b?2f(a)?2f???f(b)??b?a?f??(?)，

4?2? 34

35

即

f??(?)?4?b?a?2???a?b?。 f(a)?2f?f(b)?????2???22十二、设函数

f(x)在闭区间[-2,2]上具有二阶导数，f(x)?1，且?f(0)???f?(0)??4，证

（本题8分） f(?)?f??(?)?0。

明：存在一点ξ∈(-2,2)，使得

证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数

f(x)应用拉格朗日中值定理

??1?(?2,0)使f?(?1)?f(0)?f(?2)；

2f(2)?f(0)。 ??2?(0,2)使f?(?2)?2f(0)?f(?2)?1，f?(?2)?1。

2注意到：

f(x)?1，因此f?(?1)???f(x)???f?(x)?22命：F(x)，则F(x)在区间[-2,2]上可导，且

22F(?1)??f(?1)???f?(?1)??2； F(?2)??f(?2)???f?(?2)??2；

22F(0)?4。

故F(x)在闭区间理知F?(?)??1,?2?上的最大值F(?)?xMax?f(x)??4，且??(?1,?2)。由弗马定

???,??12?0。而 F?(x)?2f(x)f?(x)?2f?(x)f??(x)，

F?(?)?2f?(?)?f(?)?f??(?)??0。

故 由于F(?)22??f(?)???f?(?)??4，所以f?(?)?0，从而f(?)?f??(?)?0。

2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．若

?1?esinx,x?0,?xf?x???arctan2是???,???上的连续函数，则a = －1 。

?ae2x?1,x?0,?2．函数

2????y?x?2sinx在区间?,??上的最大值为?3 。

3?2? 35