01~13年天津大学生数学竞赛试题(4)

11 分）

解：解法1 在S上有x2?y2?1，即x2?1?y2，代入f(x,y)?x2?2x2y?y2，得到

f(x,y)?g(y)?1?2y?2y3,(?1?y?1)

因此

g?(y)?2?6y2

命g?(y)?0，得到y??13，x??23，

由于g(13)?1?2243， ?1?933g(?13)?1?2243，又g(?1)?1，所以 ?1?393maxf(x,y)?maxg(y)?g(y?[?1,1]131(x,y)?S)?1?43； 943。 9(x,y)?Sminf(x,y)?ming(y)?g(?y?[?1,1]3)?1?解法2

构造F(x,y,?)解方程组

?x2?2x2y?y2??(x2?y2?1)，

?Fx?2x?4xy?2x??0?2?Fy?2x?2y?2y??0?22?F??x?y?1?0(1)(2) (3)(1)?y?(2)?x得到x?0或x2?2y2?02xy?4xy2?2x3?2xy?0，即

x(2y2?x2)?0，于是有(4)联合求解(3)、(4)，得到6个可能的极值点

P1(0,1)，P2(0,?1)，P3(21212121,)，P4(,?)，P5(?,)，P6(?,?)， 333333334343,f(P4)?f(P6)?1?99，所以

因为

f(P1)?f(P2)?1,f(P3)?f(P5)?1?(x,y)?Smaxf(x,y)?1?4343，minf(x,y)?1?。 (x,y)?S9911

12

十、计算I???cos(x?y)dxdy，其中区域D为：0?x?D?2,0?y??2。（本题7分）

解：如图，用直线x?y??2将区域D分为D1和D2两个区域，则

I???cos(x?y)dxdy???cos(x?y)dxdyD1D2?0?0??2dx?2cos(x?y)dy??2dx??2cos(x?y)dy

02?x?x???20?0??(1?sinx)dx??2(cosx?1)dx???2

十一、证明：当 0 < x < 1时，

1?x（本题7分） ?e?2x。

1?x时，

证明：本题即证当 0 < x < 1

(1?x)e2x?(1?x)?0，命：

f(x)?(1?x)e2x?(1?x),x?[0,1)，于是有

f?(x)??e2x?2(1?x)e2x?1?(1?2x)e2x?1， f??(x)??2e2x?2(1?2x)e2x??4xe2x?0，

即

f?(x)在区间(0,1)内单调减少，而f?(0)?0，故当 x > 0时f?(x)?0，因而f(x)在区间(0,1)

f(x)?f(0)?0，于是有(1?x)e2x?(1?x)?0，即

内单调减少，即

1?x?e?2x,x?(0,1)。 1?x十二、设C是取正向的圆周(x?1)2?(y?1)2?1，f (x)是正的连续函数，证明：

?（本题8分）

证明：由格林公式有

Cxf(y)dy?ydx?2? f(x)???DCxf(y)dy??y1?dx????f(y)?dxdy， ?f(x)f(x)?D?其中D是由 ( x – 1 )2 + ( y – 1 )2 = 1所围成的区域。而

f(x)dxdy??dx?021?1?(x?1)21?1?(x?1)2f(x)dy?2?f(x)1?(x?1)2dx，

02 12

13

??Df(y)dxdy??dy?021?1?(y?1)21?1?(y?1)2f(y)dx?2?f(y)1?(y?1)2dy，

02即 所

??f(x)dxdy???f(y)dxdy，

DD以

?

Cxf(y)dy???y1?1? dx????f(y)?dxdy?f(x)????dxdy???2d??2?。??f(x)f(x)f(x)??D?D?D

2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．设对一切实数x和y,恒有

1?1?且知f(2)?1，则f? f(x?y)?f(x)?f(y)，?? 。

2?2?2．设

?sinxln(1?t)dt???02,f(x)??2xx2e?2e?1???a,2x?0;x?0, 在x = 0处连续，则a =

1 。 23．设

f(x,y,z)?ezyz2，其中z?z(x,y)是由方程x?y?z?xyz?0所确定的隐函数，

则

fy?(0,1,?1)?

??2 。 e 。

4．

?0dx??

(1?x2)24?x2y2z2??1??5．曲线?4在点44?x?2y?z?0?M (1,1,1)处的切线方程为

x?1y?1z?1 （或??51?3?x?y?2z?4?0）。 ?x?2y?z?0?二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1． 当x?0时，下列无穷小量 ①

1?tanx?1?sinx； ②

1?2x?31?3x；

13

14

③

4?41?x???cosx?sinx； ④ ex?x?1，

?33?从低阶到高阶的排列顺序为（ D ）

（A） ①②③④； （B） ③①②④； （C） ④③②①； （D） ④②①③。 2． 设

?x3arccotx,f(x)???0,x?0，在x = 0处存在最高阶导数的阶数为（ B ）

x?0f?(x)?2，则x = 1是（ B ）

x?1（A） 1阶； （B） 2阶； （C） 3阶； （D）4阶。 3． 设函数（A）曲线（C）函数

y?f(x)在 x = 1处有连续的导函数，又limx?1y?f(x)拐点的横坐标； （B）函数y?f(x)的极小值点； y?f(x)的极大值点； （D）以上答案均不正确。

g(x)?f(x)?m（m为常数），则曲线

4． 设函数f，g在区间[a，b]上连续，且

y?g(x),y?f(x),x?a和

（ A ） (A)

bx = b所围平面图形绕直线y = m旋转而成的旋转体体积为

??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dxab； (B)

??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx；

a(C)

b??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dxab； (D)

??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx。

a5． 设S（A）（C）

:x2?y2?z2?a2(z?0)，S1为S在第一卦限中的部分，则有（ C ）

（B）

S1??xds?4??xds；

SSS1??yds?4??xds；

SS1S1??zds?4??xds； （D）??xyzds?4??xyzds。

S三、a，b，c为何值时，下式成立

2xtdt1lim?c。

b2x?0sinx?ax?1?t（本题6分）

解：注意到左边的极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b= 0，当b= 0时使用诺必达法则得到

2xtdt1x2lim?lim02x?0sinx?ax?x?01?t(cosx?a)1?x2，

14

15 由上式可知：当x?0时，若a?1，则此极限存在，且其值为0；若a = 1，则

2xtdt1x2lim?lim??2。

022x?0sinx?x?x?01?t(cosx?1)1?x综上所述，得到如下结论：a?1，b = 0，c = 0；

或a = 1，b = 0，c = －2。

四、设函数

??(x)?cosx,?f(x)??x??a,x?0x?0，其中?(x)具有连续二阶导函数，且?(0) ?1。

⑴ 确定a的值，使⑵ 讨论

f(x)在点x = 0处可导，并求f?(x)。

（本题8分） f?(x)在点x = 0处的连续性。

解：⑴ 欲使

f(x)在点x = 0处可导，f(x)在点x = 0处必须连续，于是有

limf(x)?limx?0?(x)?cosxxx?0?lim??(x)?sinx1x?0???(0)

即当a???(0)时，f(x)在点x = 0处连续。

当x?0时，

???(x)?sinx?x???(x)?cosx??； f(x)?x2当x = 0时，

???(0)f(x)?f(0)?(x)?cosx?x??(0)xf?(0)?lim?lim?limx?0x?0x?0x?0xx2??(x)?sinx???(0)???(x)?cosx1?lim?lim?????(0)?1?x?0x?02x22

故：

?(x)?cosx????(x)?sinx?x???(x)?cosx?,2??xf?(x)???1????(0)?1?,??2 …… 此处隐藏：1834字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……