01~13年天津大学生数学竞赛试题(6)

?2z?2z1?z代入方程?y2???0，得到 22?y?x?y?2z?2z1?z?a2??2z?2z?y2????1????2?a??0， 22??2?y?4??u?u?v?x?y?a2?0?1?于是有?，所以a??2。 4?2?a?0?八、设函数Q(x,y)在x O y平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分

?2xydx?Q(x,y)dy与路径

L无关，并且对任意的t恒有题7分）

?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)（本2xydx?Q(x,y)dy，求Q(x,y)。

解：由曲线积分与路径无关知

?Q??(2xy)?2x， ?x?y所以Q(x,y)

?x2?C(y)，其中C(y)为待定函数。又

10?(t,1)(0,0)(1,t)2xydx?Q(x,y)dy??t?C(y)dy?t??C(y)dy；

0?2?21?(0,0)2xydx?Q(x,y)dy???1?C(y)?dy?t??C(y)dy。

001ttt根据题设，有

t2??C(y)dy?t??C(y)dy，

00上式两边对t求导，得到

2t?1?C(t)，于是知C(t)?2t?1，即C(y)?2y?1，故Q(x,y)?x2?2y?1。

九、设函数f (x)具有二阶连续导函数，且

f(0)?0,f?(0)?0,f??(0)?0。在曲线y = f (x)上任

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意取一点(x,此切线在x轴上的截距记作?，求limf(x))(x?0)作曲线的切线，

x?0xf(?)。（本题8分）

?f(x)解： 过点(x,注意到：由于截距为

f(x))的曲线y = f (x)的切线方程为：Y?f(x)?f?(x)(X?x)，

f?(0)?0,f??(0)?0，所以当x?0时，f?(x)?0。因此，此直线在x轴上的

??x?f(x)f(x)?0。 。且lim??limx?limx?0x?0x?0f?(x)f?(x)利用泰勒公式将

f(x)在x0?0点处展开，得到

f(x)?f(0)?f?(0)x?类似可得：

11f??(?1)x2?f??(?1)x2,22。 ?1在0与x之间；f(?)?1f??(?2)?2,2?2在0与?之间。代入得

f(x)1x?f??(?2)?2f??(?2)xf(?)?xf?(x)?f(x)f?(x)lim?lim2?lim?lim?lim?limx?0?f(x)x?0x?0f?x?01?(?1)x?0xx?0xxf?(x)2???f(?1)x2xf??(x)f??(x)f??(0)1?lim?lim??x?0f?(x)?xf??(x)x?0f?(x)f??(0)?f??(0)2?f??(x)xx

十、设函数f (x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间 (0,1) 内可导，且f ( 0 ) = 0，f ( 1 ) = 1 。试证明：对于任意给定的正数a和b ，在开区间 (0,1) 内存在不同的ξ和η，使得

ab??a?b。

f?(?)f?(?)（本题7分）

证明：取数??(0,1)，由连续函数介值定理知，存在C?(0,1)，使得与[C,1]上分别应用拉格朗日中值定理，有

f(C)??。在区间[0,C]

f(C)?f(0)??,C?0Cf(1)?f(C)1??f?(?)??1?C1?Cf?(?)?由于??(0,1)，所以?0???C, 显然???。

C???1.?0,1???0，即f?(?)?0,f?(?)?0。从而

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ababaC(1??)?b?(1?C)b??C(a?b??a?)?????，

f?(?)f?(?)?1???(1??)?(1??)C1?Cab，则1???，并且?,1???(0,1)，代入得 a?ba?bababa?b???a?b。

abf?(?)f?(?)?a?ba?b11?1?t2十一、设F(x)??(1?e)??(x?t)edt，试证明在区间[?1,1]上F(x)有且仅有两个

?12注意到：若取??实根。（本题7分）

证明：

x11?1?t2?t2F(x)??(1?e)??(x?t)edt??(t?x)edt?1x2xx1121?1?t2?t2?t2??(1?e)?x?edt??tedt??tedt?x?te?tdt?1?1xx20x0x11?t2x1?t21?1?t2?t2?t2?t2??(1?e)?x?edt?x?edt?e?e?x?edt?x?edt?1010?12x2200x222213???e?1?e?x?x?e?tdt?x?e?tdt?2x?e?tdt?1102201x222213???e?1?e?x?x?e?tdt?x?e?tdt?2x?e?tdt?10022x2213???e?1?e?x?2x?e?tdt022

由于e?x2是偶函数，所以

?x0e?t2dt是奇函数，2x?e0x?t2dt是偶函数，于是知F(x)为偶函数。

又注意到：

13?1e?3?e??0;222e

1121135?11????t?tF(1)?????0??2?0edt??????2?0edt??22e22e22e????F(0)?F?(x)??2xe?x?2xe?x?2?e?tdt?2?e?tdt?0，（当x > 0时）。

0022x2x2

因此，函数F(x)在闭区间[0,1]上有且仅有唯一一个实根；又F(x)为偶函数，所以F(x)在闭区间

[?1,0]上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数F(x)在闭区间[?1,1]上有且仅有两个实根。

十二、设函数

f(x,y)在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：

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f(0,0)?lim???0?1xfx??yfy?dxdy 22??2?Dx?y其中：D为圆域?2?x2?y2?1。（本题8分）

?x?rcos?证明：取极坐标系，由?，得到

y?rsin???f?f?x?f?y?f?f?????cos??sin?， ?r?x?r?y?r?x?y将上式两端同乘r，得到

r?f?f?f?rcos??rsin??xfx??yfy?。 ?r?x?y于是有

I???Dxfx??yfy?x2?y22?02?1?f2?11?fdxdy???2rrdrd???d??dr??f(rcos?,rsin?)d?0??r0??rrD2???f(cos?,sin?)d???2?00f(?cos?,?sin?)d??0??2?0f(?cos?,?sin?)d?

???

f(?cos?,?sin?)d?由积分中值定理，有

I??2??f(?cos?1,?sin?1)，其中0??1?2?。

?1xfx??yfy?故limdxdy?lim?f(?cos?1,?sin?1)?f(0,0)。 ??0?2???x2?y2??0D2004年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．设函数

f(x)?ln1?x，则函数1?x?x?f????2??1?f??的定义域为 1?x?2 。 ?x?2．设要使函数

11???(cosx)x2,x?0f(x)??在区间(??,??)上连续，则a? e2 。

?x?0?a,3．设函数

?x?f(t)??dy? y?y(x)由参数方程?所确定，其中f可导，且f?(0)?0，则

3tdxt?0?y?f(e?1)20