2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

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绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题

卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能

答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|1{|31}x

A x x

B x =<=<，，则 A ．{|0}A

B x x =< B ．A B =R

C ．{|1}A B x x =>

D ．A B =?

2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切

圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方

形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A ．14

B ．8π

C ．12

D ．

4π 3．设有下面四个命题

1p ：若复数z 满足1z

∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；

4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .

其中的真命题为

A ．13,p p

B ．14,p p

C ．23,p p

D ．24,p p

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4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是

A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3] 6．621(1)(1)x x

++展开式中2x 的系数为 A ．15

B ．20

C ．30

D ．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

8．右面程序框图是为了求出满足321000n n

->的最小偶

数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A ．1000A >和1n n =+

B ．1000A >和2n n =+

C ．1000A ≤和1n n =+

D ．1000A ≤和2n n =+

9．已知曲线122:cos ,:sin(2)3C y x C y x π==+

，则下面结论正确的是

A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C

B ．把1

C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C

C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的

12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线2C

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D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的

12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线2C 10．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交

于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为

A ．16

B ．14

C ．12

D ．10 11．设xyz 为正数，且235x y z ==，则

A ．235x y z <<

B ．523z x y <<

C ．352y z x <<

D ．325y x z <<

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，

他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项

是02，接下来的两项是012,2，再接下来的三项是012

2,2,2，依此类推。求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是

A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .

14．设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤??+≥-??-≤?

，则32z x y =-的最小值为 .

15．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。若60MAN ∠=，则C 的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。D 、

E 、

F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3

）的最大值为_______。

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2

3sin a A

（1）求sin sin B C ;

（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=

.

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值.

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2

(,)N μσ．

（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

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0.212≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16

i =???．

用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)

N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ

-<<+=，

160.997 40.959 2=0.09≈．

20.（12分）

已知椭圆C ：22

22=1x y a b

+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.

21.（12分）

已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

（二）选考题：共

10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=??=?

（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+??=-?

（为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l a .

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数2

()4,()|1||1|f x x ax g x x x =-++=++-

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a 时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（1）当1

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

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理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. A

2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13

． 14．-5 15

16

．3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2

3sin a A

（1）求sin B sin C ;

（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.

解：（1） 由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A

= 由正弦定理得

1sin sin sin 23sin A C B A

= 故2sin sin 3B C =。 （2）

由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=- 所以23B C π+=，故3

A π= 由题设得2

1sin 23sin a bc A A

=，即8bc = 由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=

，得b c +=故ABC ?

的周长为3+18.（12分）解：

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（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=，得AB AP ⊥，CD PD ⊥

由于//AB CD ，故AB PD ⊥， 从而AB ⊥平面PAD

又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD

（2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F

由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，

可得PF ⊥平面ABCD

以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单

位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -

由（1

）及已知可得((0,0,((2222

A P

B

C - 所以2222(,1,),(2,0,0),(,0,),(0,1,0)PC CB PA AB =--==-= 设(,,)n x

y z =是平面PCB

的法向量，则 0,0n PC n CB ??=???=??

即0,220x y z y ?-+-=???=?

可取(0,1,n =- 设(,,)m

x y z =是平面PAB 的法向量，则

0,0m PA m AB ??=???=??即

0,220x z y -=??=?

可取(1,0,1)m =

则cos

,||||n m n m n m ?<>== 所以二面角A PB C --

的余弦值为-

19．（12分）解：

（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在

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(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B ，因此

16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈

X 的数学期望为160.00260.0416EX =?=

（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，

一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。

（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为?9.97,μ

σ=的估计值为?0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在????(3,3)μ

σμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查。

剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 1(169.979.22)10.0215

?-= 因此μ的估计值为10.02

162221160.212169.971591.134i i x

==?+?≈∑

剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815

--?≈ 因此σ

0.09≈

20.（12分）解：

（1）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点 又由2222

11134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上 因此222

11,1314b a b ?=????+=??解得2241

a b ?=??=?? 故C 的方程为2

214

x y += （2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k

如果l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得,A B 的坐标分别为

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(,t t

则1222122k k t t

+=-=-，得2t =，不符合题设 从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2

214

x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=

由题设可知22

16(41)0k m ?=-+> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844,4141

km m x x x x k k -+=-=++ 而 121212

11y y k k x x --+=+ 1212

11kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=

由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+= 即222448(21)(1)04141

m km k m k k --++-=++ 解得12

m k +=- 当且仅当1m >-时，0?>，于是1:2m l y x m +=-

+， 所以l 过定点(2,1)-

21.（12分）解：

（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+

（i ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减

（ii ）若0a >，则由()0f x '=的ln x a =-

当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；

当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>

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所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增。

（2）（i ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点

（ii ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为

1(ln )1ln f a a a

-=-+ ① 当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；

② 当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a -

+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点；

③ 当(0,1)a ∈时，11ln 0a a -

+<，即(ln )0f a -<又 又422(2)(2)2220f ae

a e e ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点。

设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，

则00000000()(2)20n n n n f n e ae a n e n n =+-->->-> 由于3ln(1)ln a a

->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点

综上，a 的取值范围为(0,1)

22．解： （1）曲线C 的普通方程为2

219

x y +=， 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-= 由22430,19x y x y +-=???+=??解得3,0x y =??=?或21252425x y ?=-????=??

从而C 与l 的交点坐标为2124(3,0),(,)2525

- （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为

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d = 当4a ≥-时，d

=8a =； 当4a <-时，d

=16a =- 综上，8a =或16a =-

23．解：

（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于

2|1||1|40x x x x -+++--≤ ①

当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；

当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；

当1x >时，①式化为240x x +-≤

，从而112

x -<≤ 所以()()f x g x ≥

的解集为{|1x x -≤≤

（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x = 所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥

又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤

所以a 的取值范围为[1,1]-