2017初高中数学课程衔接教程共十六讲专题(8)

来源：网络收集时间：2026-07-17

导读：第八讲均值不等式【要点归纳】当a，b，c＞0时，则 a?ba?b2） ?ab?ab?()（当且仅当a=b时，� �=” 22a?b?c3a?b?c3（2）） ?abc?abc?()（当且仅当a=b=c时，� �=” 33（1）更一般地，当ai?0（i?1,2,3?n）时，则 a1

第八讲均值不等式

【要点归纳】

当a，b，c＞0时，则

a?ba?b2） ?ab?ab?()（当且仅当a=b时，取“=”

22a?b?c3a?b?c3（2）） ?abc?abc?()（当且仅当a=b=c时，取“=”

33（1）

更一般地，当ai?0（i?1,2,3?n）时，

则

a1?a2???ann） ?a1a2?an（当且仅当a1?a2???an时，取“=”

n【典例分析】

例1 设a，b，c＞0，证明下列不等式：（1）

例2 下列命题中有________个正确（1）函数f(x)?x?（2）函数f(x)?ba1119 ??2 （2）???ababca?b?c4的最小值是4； x14?x24?x2?的最小值是2

（3）函数f(x)?1?2x?（4）函数f(x)?x?6(x?0)的最大值是1?43 x4(x?0)，当x=1时，取最小值。 2x19??1，求x+y的最小值； xy例3 （1）已知x,y?0，且

y2?1，求x1?y2的最大值。（2）已知x,y?0，且x?22

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例4 （1）当x>1时，求y?x?1的最小值； x?115（2）当x?时，求y?4x?2?的最大值。

4x?54

例5 （1）当a，b>0时，证明：

114 ??aba?b11k（2）设a>b>c，求使得不等式恒成立的k的最大值。 ??a?bb?ca?c

例6 某食品厂定期购买面粉，已知每吨面粉的价格为1800元，该厂每天需用面粉6吨，面粉的保管费为平均每吨每天3元，因需登记入库，每次所购面粉不能当天使用，每次购面粉需支付运输费900元，求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

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【反馈练习】

1、已知a,b?0，且a+b=1，求

2、函数y=x(1-2x) (0?x?

3、函数y?ax?

4、已知a,b?0，且ab=3+a+b，求ab的取值范围。

5、求函数y?

11?的最小值。 ab1)的最大值等于___________；此时x=__________ 22(x?0,a?0)的最小值为6，则实数a=_____________ x2x3(x2?1)(x?0)的最大值及相应的x的值。

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6、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm，画面的宽与高的比为?(??1)，画面的上下各留8cm

空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？

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第八讲均值不等式

【典例分析】

例2 2个（③④两个命题正确）

例3 （1）当x=4，y=12时，x+y取最小值16；

（2）当x=

3632，y=时，x1?y2取最大值。 242例4 （1）当x=2时，ymin?3；（2）当x=1时，ymax?1 例5 （1）略（2） 4

例6 解：设该厂应x天购买一次面粉，其购买量为6x吨。由题意知，面粉的保管费用为3[6x+6(x－1)+…+6×2+6×1]=9x(x+1) 设平均每天所支付的总费用为y元，则

y?=

1[9x(x?1)?900]?6?1800 x900900?9x?10809?10989 ?9x?10809≥2

xx当且仅当9x?900，即x=10时取等号， x故该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少。【反馈练习】

111

时，?取最小值4。 2ab112、当x?时，ymax?

481、当a?b?22axax2a3、a=4 提示：y?ax?2???2?33?6

22x2x4、ab≥9 提示：ab=3+a+b?3?2ab?5、当x=1时，ymax?ab?3

x1? 提示：y?63(x2?1)113(x?)x

6、宽为55cm，高为88cm

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