2017初高中数学课程衔接教程共十六讲专题(5)

第四讲 三角形的“五心”

例题解析答案

例1：解：答案依次为： 1：1：1；

111111 ::； coA::s:coBs:coCs；

abccoAscoBscoCs例2：解：内心 例3：解：

1 2例4：解：62 例5：解：D

例6：分析：设AC交DE于G，可推出G为△ABD的重心，∠EGA＝90°，故可求出S?EGA及S□ABCD。

解：设AC、BD交于G，连BD交AC于O（如图） 由□ABCD知BO＝DO，OA＝OC而BE＝AE 故G为△ABD的重心 有EG?1221ED?4，AG?AO??AC?3

3323222而EA＝5，故EA?EG?AG,∠EGA＝90°，S?AEG＝6

S?ADE?S?ABDED?S?ABG?3?6?18 EGAB??S?ADE?2?18?36 AE∴S□ABCD＝2S?ABD＝72 课堂练习答案：

1、6.5，4 2、2 3、?

132 4、72 5、A 6、略 2第20页 共79页

第五讲 几何中的著名定理

一、知识归纳

本节重点掌握三角形内、外角平分线定理、中线长定理，梅涅劳斯定理与塞瓦定理 二、例题解析

例1：如图△ABC中，AD为∠BAC的角平分线 求证：

例2：如图，△ABC中，AD为∠A的外角 平分线，交BC的延长线于点D，求证：

例3：如图，AD为△ABC的中线， 求证：AB?AC?2(AD?BD)

例4：（梅涅劳斯定理）

如果在△ABC的三边BC，CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则

B C 2222ABBD ?ACDCF B D

A 1 2 E C A BDAB. ?CDACB

C

2 1 D

A D E BDCEAF???1 DCEAFBF 第21页 共79页

A E G B D C

例5：设O为△ABC内任意一点，AO、BO、CO 分别交对边于N、P、M，则

AMMB?BNNC?CPPA?1. 三、课堂练习

1、如图，P是AC中点，D、E为BC上两点， 且BD＝DE＝EC，则BM：MN：NP＝ ；

2、如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、 AC上且DE//BC，设BE与CD交于S，证明BM＝CM。3、证明：三角形的三条角平分线交于一点。

第22页 共79页A M 1

6 2 P 3 0 5 B 4

N

C A D E

S B M C

第五讲 几何中的著名定理

例题解析答案：

例1：证明：过点D作DE?AC,DF?AB垂足分别为E、F ∵∠1＝∠2 ∴DE＝DF ∴S?ABD?∴

S?ABDS?ACD11?AB?DF S?ACD??AC?DE 221?AB?DFAB2 ??1AC?AC?DE2又

S?ABDBDABBD? ∴＝ S?ACDDCACDC证明2：如图，过点C作DA的平行线交BA的延长线于点E，由平行线分线段成比例定理得

E 4 A 1 2 BDAB＝ AEDC又∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4 ∴∠3＝∠4 ∴AC＝AE ∴这就是三角形内角平分线定理

例2：这是三角形外角平分线定理，请同学们仿照上 面的方法给予证明。

例3：证明：过点A作AE?BC，垂足为E，则

B

BDAB＝ AEDC3 B D A 2 1 D C AB2?AE2?BE1,AC2?AE2?EC2

22222222C ∴AB?AC?2AE?BE?EC?2(AD?DE)?(BD?DE)?(BD?DE)

∴AB?AC?2AD?2DE?2BD?2DE ∴AB?AC?2(AD?BD) 这就是三角形中的中线长定理 例4：

证明：此题的证明方法有很多，如过点C作CG//AB

F 第23页 共79页

22222222222A B D E A E C G B D C 交FD于点G，∴

CECG ?AEAFBDCEAFBDCGAFBDCG∴ ???????DCFBFBDCAFFBDCFBCGCDBDCEAF又 ∴????1 FBBDDCEAFB注：梅涅劳斯的逆定理：如果在△ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上有点D、E、F

且

BDCEAF???1，则D、E、F三点共线。 DCAEFBBNS3BO?NOBO???例5： NCS4CO?NOCOCPS5PO?COCO??? PAS6AO?POAO∴

A M 1

6 P 2 0 5 3 4 C N

B AMBNCP???1 MBNCPA同样，塞瓦定理有逆定理，设M、P、N分别在△ABC的边AB、BC、AC上且满足

AMBNCP???1 MBNCPA则AN、BP、CM相交于一点。 课堂练习答案：略

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