2017初高中数学课程衔接教程共十六讲专题(6)

第六讲 圆

一、知识归纳

1、证明四点共圆的方法有：

（1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上 （2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆 （3）线段同旁张角相等，则四点共圆。

（4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆 （5）若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆

（6）四边形ABCD对角线相交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆 （7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若PA?PB?PC?PD，则它的四个顶点共圆。

2、圆幂定理 二、例题讲解

例1：如图，设AB为圆的直径，过点A在AB的同侧作弦AP、AQ交B处的切线于R、S，求证：P、Q、S、R同点共圆。

例2：圆内接四边形ABCD，O为AB上一点，以O为圆心的半圆与BC，CD，DA相切，求证：AD＋BC＝AB

例3：如图，设A为⊙O外一点，AB， AC和⊙O分别切于B，C两点，APQ为⊙O 的一条割线，过点B作BR//AQ交⊙O于点R，

连结CR交AO于点M，试证：A，B，C，O，M五点共圆。

A

O E

B

D C A P R Q S B

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例4：如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C两点，D为PC中点，且AD延长线交⊙O于点E，又BE2?DE?EA,求证：（1）PA＝PD；（2）2BD2?AD?DE.

例5：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE长为2，CD＝1，求DE的长度。

三、课堂练习

1、如图，已知点P在⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A，B两点，并交ST于点C，求证：

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A P O D B E C P A C E H D O B 1111?(?) PC2PAPBP A S C D O B T

2、如图，A是⊙O外一点，AB、AC和⊙O分别切于点B、C，APQ为⊙O的一条割线，过B作BR//AQ交⊙O于R，连CR交AQ于M。

试证：A，B，C，O，M五点共圆。

3、设⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，M是⊙O1、⊙O2的切点，R、S分别是⊙O1、⊙O2与⊙O3的切点，连心线O1O2交⊙O1于P，⊙O2于Q，求证：P、Q、R、S四点共圆。

P O1 R S B A P C G R M O O2 Q

O3 第27页 共79页

第六讲 圆

例题讲解答案

例1：证明：连PQ、QB内四边形ABQP内接于圆

R ∴∠QBA＝∠RPQ

又∵SB为切线，AB为直径

∴∠ABS＝∠AQB＝90°，故∠QBA＝∠QSB ∴∠RPQ＝∠QSB ∴P、Q、S、R四点共圆

例2：解：在AB上截取BE＝BC，连结OC，OD，DE，CE。 ∴∠BEC＝

D C O E

B

A P Q S B

1（180°－∠B） 2A

∵ABCD内接于圆， ∴180°－∠B＝∠ADC ∴∠BEC＝

1∠ADC 2又DA，DC为半圆切线， ∴

1∠ADC＝∠ADO＝∠ODC 2∴∠BEC＝∠ODC，即C、E、O、D四点共圆。

11∠BCD＝（180°－∠A）， 2211∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝180°－∠A－（180°－∠A）＝（180°－∠A）

22∴∠AED＝∠OCD＝∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE

∴AB＝AE＋BE＝AD＋BC。

例3：解答：连接OB,OC,BC，则OB⊥AB,OC⊥AC,

∴A，B，O，C四点共圆，∵BR//AQ， ∵∠GBR=∠BAQ,而∠GBR=∠BCR,

∴∠BAQ=∠BCR,即∠BAM=∠BCM,∴A,B,M，C四点共圆，但A，B，C三点确定一个圆， ∴A，B，C，O，M五点共圆。 例4：解：（1）连接AB

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G B A

M

P C O

Q

∵BE?DE?EA,∵∵∠E＝∠F

2BEEA ?DEBEA P O D B E ∴△BDE∽△ABE，∴∠DBE＝∠BAD ∵PA切⊙O于点A，∴∠E＝∠PAB ∴∠DBE+∠E＝∠BAD+∠PAB ∴∠PAD＝∠BDA，PD＝PA

（2）∵PA切⊙O于点A，∴PA?PB?PC ∵D为PC中点，∴PC＝2PD，∵PD＝PA， ∴PD?PB?2PD,∴DP＝2PB，

22C ∴B为PD中点，DC＝2BD，∴AD?DE?BD?DC?BD?2BD?2BD 例5：解答：连PO交AB于H，设DE＝x，则AP?PE?PC?2(x?3)， 在Rt△APH中，AP?AH?PH

∴AH?PH?2(x?3) ① 在Rt△PHD中，PH?DH?(x?2) ② 由相交弦定理，知AD?DB?ED?DC

而AD?DB?(AH?DH)?(AH?DH)?AH?DH ∴AH?DH?x?1 ③ 由①②③可知，(x?2)?x?2(x?3)，

2222222222222P A C E H D O B 22∴DE＝x?17?3 2课堂练习答案：略

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