高中数学函数压轴题（精制）[1](5)

?0?x1?2,x1?2?x2?4,?x2?x1?2,……（11分）

(b?1)242?(x2?x1)?(x2?x1)?4x2x1???4?2a?1?(b?1)?1. 2aa22由g(2)?0即4a?2b?1?0代入有2(b?1)2?1?3?2b?b?1.

419.解：解法一：（1）令x?0,y?2，得：f(0)?[f(0)]2……………1分

?f(0)?0?f(0)?1…………………………4分

33（2）任取x1、x2?(??,??)，且x1?x2. 设x1?1p1,x2?1p2,则p1?p2 1111f(x1)?f(x2)?f(p1)?f(p2)?[f()]p1?[f()]p2…………………… 8分

33331?f()?1,p1?p23?f(x1)?f(x2)?f(x)在R上是单调增函数…… 9分

a （3）由（1）（2）知f(b)?f(0)?1 ?f(b)?1 ?f(a)?f(b?c)?[f(b)]b

bcbbf(c)?f(b?)?[f(b)]b………11分 ?f(a)?f(c)?[f(b)]?[f(b)]?2[f(b)]bcaca?cb

而a?c?2ac?2b?2b2?2[f(b)]a?cb?2[f(b)]2bb?2f(b) ?f(a)?f(c)?2f(b)……15分

解法二：（1）∵对任意x、y∈R，有f(xy)?[f(x)]y

x0 ?f(x)?f(x?1)?[f(1)]………1分 ∴当x?0时f(0)?[f(1)]……2分

∵任意x∈R， f(x)?0…………3分 ?f(0)?1……………………4分

（2）?f(1)?1,?f(1)?f(3?1)?[f(1)]3?1…………………………6分

333?f(x)?[f(1)]x是R上单调增函数 即f(x)是R上单调增函数；…… 9分

aca?c（3）f(a)?f(c)?[f(1)]?[f(1)]?2[f(1)]……………………11分

而a?c?2ac?2b2?2b?2[f(1)]a?c?2[f(1)]2b?2f(b)

?f(a)?f(c)?2f(b)

21

2xax2?2x?a?a?. 20.解：（理）（1）f(x)?1?x21?x2''①若a?0时，f(x)?2x'?0?x?0,f(x)?0?x?0, 21?x∴f(x)在0,??单调递增，在??,0单调递减，……………………………………1?

②若??a?0?a?-1时，f'(x)?0对x?R恒成立.

?.??0∴f(x)在R上单调递减. …………………………………………………………6′ ③若?1?a?0，

?1?1?a2?1?1?22由f(x)?0?ax?2x?a?0??x?， ?x?aa'2?1?1?a2?1?1?a2由f'(x)?0可得x?或，

aa?1?1?a2?1?1?a2?1?1?a2∴f(x)在［］单调递减，在（??,］，,aaa?1?1?a2［，??］上单调递减，综上所述：若a??1时，f(x)在（??,??）

a上单调递减.

?1?1?a21??1?a2当?1?a?0时，f(x)在［］单调递减， ,aa?1?1?a2?1?1?a2在（??,和,??）单调递减，

aa当a?0时， f(x)在0,??单调递增，在??,0单调递减.

22

21.解：（1）∵f′(x)=－x+4ax－3a=－(x－3a)(x－a),由f′(x)>0得：a

由f′(x)<0得，x3a，

则函数f(x)的单调递增区间为（a, 3a），单调递减区间为（－∞，a）和（3a，+∞）

22

列表如下： x (－∞，a) a f′(x) — 0 43－a+b f(x) (a, 3a) + 3a 0 b (3a,+ ∞) — 343

a+b …………………………7分 3 （2）?f?(x)??x2?4ax?3a2??(x?2a)2?a2,?f?(x)在[a?1,a?2]上单调递

减，因此f?(x)max?f?(a?1)?2a?1,f?(x)min?f?(a?2)?4a?4

∴函数f(x)的极大值为b，极小值为－ ∵不等式|f′(x)|≤a恒成立， ∴ ?

?2a?1?a44,解得:?a?1 即a的取值范围是?a?1

55?4a?4??ax2?8x?16(x?4)2??0， 22.解：(1) 方法一： ∵ x>1 , f(x)?x?1x?1 当且仅当x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0； 方法二：∵ x>1， f(x)?x?1?当且仅当x?1?99?6?2(x?1)??6?0 x?1x?19即x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0. x?1方法三：求导（略） ……………………………………4分 （2）由于h(x)=(1－x)f(x)+16=8x?x2

设 F(x)=g(x)－h(x)= 6lnx?x2?8x?m (x?0且x?1)，则

62(x?1)(x?3)?2x?8?，……………………………6分 xx令F'(x)?0得x=3或x=1（舍）又∵limF(x)???，limF(x)??? ，F'(x)?x?0x???limF(x)?m?7，F（3）＝6ln3－15+m

x?1根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如 下：………………11分 由此可得：

当m?7或m?15?6ln3时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点； 当m?15?6ln3时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点； 当7?m?15?6ln3时，h(x)的图象与g(x(的图象恰有3个交点.

y(1, m-7)3O1x(3, 6ln3-15+m)23

??c?0?a?23.解：（I）由图形 知：???a?82?b?8?c?0解之得：??1?b?8，

??4ac?b2???c?0?4a?16,∴函数f（x）的解析式为f(x)??x2?8x…………………………4分

（Ⅱ）由???y??t2?8t??y??x2?8x 得x2?8x?t(t?8)?0,?x1?t,x2?8?t, ∵0≤t≤2

∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（t,?t2?8t)…………………………6分由定积分的几何意义知：

S(t)??1[(?t2?8t)?(?x2?8x)]dx??20t[(?x?8x)?(?t2?8t)]dx

22322?[(?t2?8t)x?(?x3?8x20)]1?[(?x3?8x02)?(?t2?8t)?x t??43t3?10t2?16t?403………………………………9分

（Ⅲ）令?(x)?g(x)?f(x)?x2?8x?6lnx?m.

因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数

?(x)?x2?8x?6lnx?m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点

??'(x)?2x?8?62x2?8x?62(x?1)(x?3)x?x?x(x?0)

当x∈（0，1）时，?'(x)?0,?(x)是增函数； 当x∈（1，3）时，?'(x)?0,?(x)是减函数 当x∈（3，+∞）时，?'(x)?0,?(x)是增函数 当x=1或x=3时，?'(x)?0 ∴?(x)极大值为?(1)?m?7;

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?(x)极小值为?(3)?m?6ln3?15………………………………12分

又因为当x→0时，?(x)??? 当x???时，?(x)???

所以要使?(x)?0有且仅有两个不同的正根，必须且只须

???(1)?0或???(3)?0??(3)?0 ??(1)?0即??m?7?0或??m?6ln3?15?0?m?6ln3?15?0 ?m?7?0∴m=7或m?15?6ln3.

∴当m=7或m?15?6ln3.时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点．

24.解：(I) f3

2

2

(x)=x-2x+x, f?(x)=3x-4x+1,

因为f(x)单调递增，

所以f?(x)≥0， 即 3x2

-4x+1≥0,

解得，x≥1, 或x≤13,……………………………2分 故f(x)的增区间是(-∞，13)和[1,+ ∞]. …………………………3分

(II) f?(x)=3x2

-2(a+b)x+ab.

当x∈[-1，1]时，恒有|f?(x)|≤32.………………………4分 故有?332≤f?(1)≤2，

?32≤f?(-1)≤32，

?32≤f?(0)≤32,………………………5

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