高中数学函数压轴题（精制）[1](3)

（1）当x?a?1且x?a时,g(x)?x?x?1?a?(x?如果a?1??2123)??a 2411 即a?时，则函数在[a?1,a)和(a,??)上单调递增 22g(x)min?g(a?1)?(a?1)2

11113如果a?1??即当a?且a??时,g(x)min?g(?)??a

222241时，g(x)最小值不存在…………………………11分 21252（2）当x?a?1时g(x)?x?x?1?a?(x?)?a?

241315如果a?1?即a?时g(x)min?g()?a?

2224当a??13如果a?1?即a?时g(x)在(??,a?1)上为减函数g(x)min?g(a?1)?(a?1)2…13分

22353当a?时(a?1)2?(a?)?(a?)2?0242131当a?时(a?1)2?(?a)?(a?)2?0

242综合得：当a?当

113且a?时 g（x）最小值是?a 2241335?a?时 g（x）最小值是(a?1)2 当a?时 g（x）最小值为a? 22241当a??时 g（x）最小值不存在

2

*5.解：(1)证明:设x为f(x)的峰点,则由单峰函数定义可知, f(x)在[0,x]上单调递增, 在

*[x*,1]上单调递减,

***当f(x1)?f(x2)时,假设x?(0,x2),则x1?x2

***当f(x1)?f(x2)时,假设x?(x1,1),则x?x1?x2,从而f(x)?f(x1)?f(x2),这与f(x1)?f(x2)矛盾,所以x*?(x1,1),即(x1,1)为含峰区间………………………….(7分)

（2）证明：由(1)的结论可知:

当f(x1)?f(x2)时, 含峰区间的长度为l1?x2； 当f(x1)?f(x2)时, 含峰区间的长度为l2?1?x1； 对于上述两种情况，由题意得??x2?0.5?r ①

1?x?0.5?r1?由①得1?x2?x1?1?2r,即x2?x1?2r，

又因为x2?x1?2r，所以x2?x1?2r ② 将②代入①得x1?0.5－r，x2?0.5?r， ③ 由①和③解得x1＝0.5－r，x2＝0.5?r， 所以这时含峰区间的长度l1?l2?0.5?r，

11

即存在x1,x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5?r

?2(2x2?ax?2)6.解：(1)证明：f(x)?，

(x2?1)2'由方程2x?ax?2?0的两根分别为?、?2?????知

x???,??时，2x2?ax?2?0，所以此时f'(x)?0，

所以f(x)在区间??,??上是增函数

(2)解：由（１）知在??,??上，f(x)最小值为f(?)，最大值为f(?)，

f(?)?f(?)?

4??a4??a?22??1??1

(???)[a(???)?4?4??]?22???[(???)2?2??]?1a ?????，????1，可求得????2a2?4， 4 ?f(?)?f(?)?a2a2?4?(?4?4)422?a?16， 2a1??2?14 所以当a?0时，f(x)在区间??,??上的最大值与最小值之差最小，最小值为４

7.解：(1)f(0)表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入f(0)=8

万元; …………………… (2分)

g(0)表示当乙公司不投入宣传费时, 甲公司要回避失败风险,至少要投入 g(0)

=12万元. …………………………… (4分)

12

(2) 解方程组

??x?y?12 ………………(6分) ???y?x?8得: x = 17, y = 25 ……………(9分) 故甲公司至少投入17万元,

乙公司至少投入25万元. …… (11分) (3) 经观察, 显见 liman?17,n??b2 b1 8 O M(17,25) limbn?25.

n?? 故点M (17, 25) 是双方在宣传投入上保 证自己不失败的一个平衡点. ………(16分)

a112 a2 x 8.解：（1）∵奇函数f(x)的图像上任意两点连线的斜率均为负

∴对于任意x1、x2?[?1，1]且x1?x2有

f(x1)?f(x2)?0……………………………………………………3分

x1?x2

从而x1?x2与f(x1)?f(x2)异号

，1]上是减函数…………………………………………5分 ∴f(x)在[?1，c?1] （2） f(x?c)的定义域为[c?1 f(x?c)的定义域为[c?1，c?1]………………………………7分 ∵ 上述两个定义域的交集为空集

则有： c?1?c?1 或c?1?c?1…………………………9分 解得：c?2或c??1

故c的取值范围为c?2或c??1………………………………………………10分 （3）∵ c?1?c?1恒成立 由(2)知：当?1?c?2时

222222c2?1?c?1

当1?c?2或?1?c?0时 c?1?c?1且 c?1?c?1

222 此时的交集为[(c?1, 当0?c?1

c?1]………………………………………12分

c?1?c?1 且 c?1?c?1

13

22

此时的交集为[c?1,c2?1]

故?1?c?2时，存在公共定义域，且

当?1?c?0或1?c?2时，公共定义域为[(c2?1, 当0?c?1时，公共定义域为[c?1,c?1]；

c2?1].

9.解：（1）由函数f（x）的图像开口向上，对称轴x＝－b/2a<－1知，f（x）在[－1，1]上为增函数，故f（1）＝a＋b＋c＝2，f（－1）＝a－b＋c＝－4，∴b＝3，a＋c＝－1。又

2

b>2a，故a＝1，c＝－2。∴f（x）＝x＋3x－2，最小值为－17/4。

2

（2）令x＝1，代入不等式4x≤f（x）≤2（x＋1）得f（1）＝4，即a＋b＋c＝4，从而b

22

＝4－a－c。又4x≤f（x）恒成立，得ax＋（b－4）x＋c≥0恒成立，故△＝（b－4）－

2

4ac≤0，∴a＝c。又b≥0，a＋c≤4，∴c＝1或c＝2。当c＝2时，f（x）＝2x＋2，此时不存在满足题意的x0。当c＝1时满足条件，故c＝1。

10.解：（1） ∵

?1，f(x)在?0，1?上单调递增，在2?上单调递减，?当x?1时，f(x)取得极大值，∴

f/(x)?0,即（4x3?12x2?2ax)|x?1?0，∴a?4，

（

2

）

设

点

A

（x0,f(x0))是f(x)上的任一点，它关于x?1的对称点的坐标为B（2?x0,f(x0)), ∵f(2?x0)?f(x0)?x?1是y?f(x)的图象的一条对称轴。

由g(x)?bx?1与f(x)?x?4x?4x?1的图象恰有2个不同的交点对应于方程

2432bx2?1?x4?4x3?4x2?1恰有2个不同的实根，即

x4?4x3?4x2?bx2?0?x?0是一个根，当x?0时b?4，当x?0时方程有等根得b?0∴b=4或b=0为所求. 11.解：(1)取x=1,q=2,有

若存在另一个实根x0?1，使得f(12)?f(2)即f(1)?0?1是f(x)?0的一个根，f(x1)?0对任意的x1(x1?(0,??)成立，且x1?x0(q?0),有f(x1)?qf(x0)?0,?f(x0)?0恒成立，?f（x1)?0,与条件矛盾，?f(x)?0有且只有一个实根x?1

（2）?a?b?c?1,不妨设a?b1,c?b2， ，则qq1q20，∴f(a)?f(c)?f(b)?f(b)?q1q2?f2(b)，又a+c=2b, q?0?12qqq 14

(a?c)2?0 ∴ac-b=?42即ac

2?q?q??b2,?0?q1?q2?2,?q2q1??12??1?f(a)f(c)?f2(b)

?2?2?f(1)?0,f(x)在(0,??)单调递增，当x?(0,1)时f(x)?0;当x?(1,??)时，f(x)?0.

又f(m)?f(n),?f(m)?f(n),f(m)??f(n),?m?n?0,?f(m)??f(n). 令m=b1,n=bqq2,b?1,且q1q2?0

2?m?n?则f(m)+f(n)=(q1?q2)f(b)=f(mn)=0?mn?1.0?n?1?m,?f(m)?2f??,且

?2?m?nm?nm?1,?mn?1,?f(m)?2f(),?f(m)?2222,222??m?n?2??m?n?f?????m???

?2???2????即4m=m?2mn?n?4m?m?2?n,由0

?3?m?2?2

12.解：(Ⅰ)∵f(x)?x3?ax2?bx?c在y轴上的截距是2，∴f(0)=2,∴c=2. 1分

又?f(x)在(??,?1),(2,??)上单调递增，（－1，2）上单调递减， ?f?(x)?3x?2ax?b?0有两个根为－1，2，

22a?3?1?2????a??32??33?? ??2?f(x)?x?x?6x?2 ，…………5分

2??1?2?b?b??6??3?2 (Ⅱ)?f'(x)?3x?3x?6?3(x?1)(x?2)，

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