高中数学函数压轴题（精制）[1](4)

当m >－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m，1）单减.…12分

13.解：(1) ①当a?0时，函数f(x)的单调递增区间为(?a(a?1),0)及(0,a(a?1))，

②当0?a?1时，函数f(x)的单调递增区间为(??,0)及(0,??)，

③当a?1时，函数f(x)的单调递增区间为(??,?a(a?1))及(a(a?1),??)． （6分） (2) 由题设及(1)中③知a(a?1)?6且a?1，解得a?3， （9分）

3x23?(x?0)． （10分） 3x (3) （理）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y?kx（k?0），

因此函数解析式为f(x)? 设P(p,q)为曲线C上的任意一点，P?(p?,q?)与P(p,q)关于直线l对称，且

p?p?，q?q?，则P?也在曲线C上，由此得

q?q?1q?q?p?p???， ，?kp?p?k22 且q?p3?23p?23，q??， （14分） ?p?p3 整理得k?123?，解得k?3或k??， k333x为曲线C的对称轴． （16分） 3 所以存在直线y?3x及y?? （文）该函数的定义域D?(??,0)?(0,??)，曲线C的对称中心为(0,0)，

因为对任意x?D，f(?x)???3x3x3(a?1)3(a?1)?????????f(x)， a?xax?? 所以该函数为奇函数，曲线C为中心对称图形．

14.解：(Ⅰ) ?f?(x)?14logae,g?(x)?logae ………………………3分 x2x?t?2∵函数f(x)和g(x)的图象在x?2处的切线互相平行

?f?(2)?g?(2) …………………………………………………5分

16

14?logae?logae 2t?2?t?6 ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）?t?6

?F(x)?g(x)?f(x)?2loga(2x?4)－logax

(2x?4)2?loga,x??1,4? …………………………………………7分

x(2x?4)216?4x??16,x??1,4? 令h(x)?xx?h?(x)?4?164(x?2)(x?2)?,x??1,4? x2x2∴当1?x?2时，h?(x)?0,当2?x?4时，h?(x)?0.

∴h(x)在?1,2?是单调减函数，在?2,4?是单调增函数. …………………………9分

?h(x)min?h(2)?32，?h(x)max?h(1)?h(4)?36

∴当0?a?1时，有F(x)min?loga36，当a?1时，有F(x)min?loga32. ∵当x??1,4?时，F(x)?2恒成立, ∴F(x)min?2 …………………………11分 ∴满足条件的a的值满足下列不等式组

?0?a?1,?a?1,①，或?② ?log36?2;log32?2.?a?a不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1?a?42 综上所述，满足条件的a的取值范围是：1?a?42. 15.

解：（1）在

f(?m)n?(f?)m中f令mn?n?1，得

f(?1)； …………………2分

xx设x1?x2?0，则1?1，从而有f(1)?0

x2x2xx所以，f(x1)?f(x2?1)?f(x2)?f(1)?f(x2)

x2x2Rf(x)所以，在上

减 …………………5分

22?单

?调递

（2） ?f(x?y)?f(x?y)?f(x?y)?0?f(1)，由（1）知，f(x)在R上单调递减，

y

17 y?ax?1

O x

?x?y?0???x?y?0， …………………7分 ?x2?y2?1?故集合A中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分；

而f(ax?y?2)?0?f(1)，所以，ax?y?1?0， …………8分 故集合B中的点所表示的区域为一直线，如图所示， 由图可知，要A?B??，只要a?1，

∴实数a的取值范围是(??,1) …………………10分

?（3）由（1）知f(x)在R上单调递减，∴当0?x?1时，f(x)?0，当x?1时，f(x)?0，

?0?a?b，而|f(a)|?|f(b)|，?a?1,b?1，故f(a)?0,f(b)?0， 由得，以，|f(a)|?|f(b)|f(?a)?f(，b所ab?1， …………………12分 a?ba?b?ab?1，所以f()?f(1)?0， 又22??a?b?2?a?b)?f??又?f(b)?2f( ???2??2???a?b)|得，4b?(a?b)2?a2?b2?2，?4b?b2?a2?2， 由|f(b)|?2|f(22又0?a?1，所以2?a?2?3，由 2?4b?b2?3及b?1解得，3?b?2?2

16.解：（理）（I）??a?4b,若b?0,则??0,方程有实根与题设矛盾.?b?0.（3分）

（II）设两整根为x1,x2，x1>x2

2?x1?x2??a,?a2?4b?1? ?x1x2?b,a2?1

b??x?x?1,24?1?f(?a)?b?12(a?1) (5分) 4（III）设m

a2a?4b?0?b?

421?.?a1?(m,m?] 即?1?a?2m?0 2222a2a1?(m?)2? f(m)=m?am?b?m?am?4242?.?a1?(m?,m?1) 2218

f(m+1)=(m?1)2?a(m?1)?b?(m?2)2?a(m?1)?a24?(m?1?a2)2?14 ?存在. (6分)

（文）f(sinx)=asin2x?bsinx?c

?b2a??1,?对称轴在x??1左边 ?f(sinx)min?f(?1)??4, f(sinx)max=f(1)=2,

???a?b?c??4, ?b?3,?a?b?c?2,??c??1?a, 又b>2a>0,?a?1,c??2. ?f(x)?x2?3x?2.

f(x)min??174 (7分) (2)?4x?f(x)?2(x2?1),?4?f(1)?2(1?1)?4,?f(1)?4.(1分)

?a?b?c?4,即b?4??(a?c).(1分)

又?f(x)?4x,即ax2?(b?4)x?c?0恒成立. ???(b?4)?4ac?0,即(?a?c)2?4ac?0,

?(a?c)2?0,?a?c.(2分)?b?4?2a?0,a?2,又a?N*.?a?1或a?2.(1分)

当a?2时,c?2,?b?0,?f(x)?2x2?2.

不存在 x20使f(x0)?2x0?2.

当a=1时，c=1,?b?2,?f(x)?x2?2x?1. 此时存在x0,使f(x20)?2(x0?1).故c?1.(2分)

17.解：(I)证：令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0),

故f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(-x)=

19

∴f(-x)=-f(x)

∴函数f(x)的奇函数 4’

（II）设-1

因此

∴函数f(x)在（-1，1）上是减函数 8’ （III） 由

得x<0或x>2 9’

是（-1，1）上的减函数，

当a=0时， ，原不等式的解集为{x|x>2} 10’ 当-12中原不等式的解； 若x<0，则a(x-1)>1,x<1+

故原不等式的解集为 12’ 当02，则a(x-1)<1,x<1+ 故原不等式的解集为{x|

∴

}

18.解：(Ⅰ)设g(x)?f(x)?x?ax2?(b?1)x?1,且a?0,

∴由条件x1?2?x2?4,得g(2)?0且g(4)?0……（2分）即?4a?2b?1?0?3?4a?b?1?2a.（4

??16a?4b?3?042分）

∴3?4a?1?2a得a?1.……（5分）对3?4a?b?1?2a可得

428421?1b3……（8分） b11???2?.?x???1??1???1.4a2a8a012a4a4?8（Ⅱ）由g(x)?ax2?(b?1)x?1?0可知x1x2?1?0即x1与x2同号.

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