2009年全国高考文科数学试题及答案-天津卷

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

参考公式：

。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。

。棱柱的体积公式V=sh。其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 1.i是虚数单位，

5i

= 2 i

A 1 2i B 1 2i C 1 2i D 1 2i

【答案】D 【解析】由已知，

5i5i(2 i)

2i 1 2 i(2 i)(2 i)

【考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算。

x y 3

2.设变量x,y满足约束条件 x y 1，则目标函数z 2x y的最小值为

2x y 3

A 6 B 7 C 8 D 23

【答案】B

【解析】由已知，先作出线性规划区域为一个三角形区域，得到三个交点（2，1）（1，2）（4，5），那么作一系列平行于直线2x 3y 0 的平行直线，当过其中点（2，1）时，目标函数最小。

【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力。 3．设x R,则“x 1的 ”是“x x”

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】 因为x x,解得x 0,1, 1，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。 【考点定位】本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题。考查逻辑推理能力。

3

3

x2y2

4．设双曲线2 2 1(a 0,b 0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程

ab

为（ ）

A y 2x B y 2x C y 【答案】C

【解析】由已知得到b 1,c 3,a

12

x Dy x

22

c2 b2 2，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐

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近线方程为y

b2x x a2

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理

能力。

5.设a log12,b log13,c ()

3

2

12

0.3

，则

A a<b<c B a<c<b C b<c<a D b<a<c 【答案】B

【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到a 0,0 c 1，而b log23 1，因此选B。

【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。

6.阅读右面的程序框图，则输出的S=

A 14 B 20 C 30 D 55

【答案】C

【解析】当i 1时， S=1;当i=2时， S=5;循环下去，当i=3时， S=14；当i=4时,S=30；

【考点定位】本试题考查了程序框图的运用。 7. 已知函数f(x) sin(wx

4

)(x R,w 0)的最小正周期为 ，将

y f(x)的图像向左平移| |个单位长度，所得图像关于y轴对称，则 的一个值是（ ）

A

3 B C D

8248

2

,w 2 ，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，w

【答案】D

【解析】由已知，周期为

sin[2(x )

4

] cos2x，故选D

【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用。

x2 4x 6,x 0

8. 设函数f(x) 则不等式f(x) f(1)的解集是（ ）

x 6,x 0

A ( 3,1) (3, ) B ( 3,1) (2, ) C ( 1,1) (3, ) D ( , 3) (1,3) 【答案】

A

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【解析】由已知，函数先增后减再增 当x 0，f(x) 2f(1) 3令f(x) 3, 解得x 1,x 3。

当x 0，x 6 3,x 3

故f(x) f(1) 3 ，解得 3 x 1或x 3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 9. 设x,y R,a 1,b 1,若a b 3,a b 2,则

x

y

11

的最大值为 xy

A 2 B 【答案】C

31 C 1 D 22

【解析】因为ax by 3,x loga3,y logb3，

11a b2

log3ab log3() 1 xy2

【考点定位】本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变

通能力。

10. 设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是 A f(x) 0 B f(x) 0 C f(x) x Df(x) x

【答案】A

【解析】由已知，首先令x 0 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A

【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。把答案填写在题中的横线上。）

11. 如图，AA1与BB1相交与点O, AB//A1B1且AB 则 A1OB1的外接圆直径为_________. 【答案】2

【解析】2

1

A1B1，若 AOB得外接圆直径为1，2

ABAB

2r 1,11 2R,A1B1 2AB,所以 A1OB1的sinOsinO

外接圆半径是 AOB外接圆半径的二倍。

【考点定位】本试题考查了正弦定理的运用。以及三角形中外接圆半径与边角的关系式运用。考察了同学们对于新问题的转化化归思想。

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12. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=________. 【答案】3

【解析】由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱，两个底面是等腰的三角形，且底边为2，等腰三角形的高位a，侧棱长为3，结合面积公式可以得到

V sh

1

2 a 3 3 ，解得a= 2

【考点定位】本试题考查了简单几何体的三视图的运用。培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力。

13. 设全集U A B x N|lgx 1，若A CUB m|m 2n 1,n 0,1,2,3,4 ，

*

则集合B=__________. 【答案】{2，4，6，8}

【解析】U A B {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A CUB {1,3,5,7,9}B {2,4,6,8}

【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。

14. 若圆x2 y2 4与圆x2 y2 2ay 6 0(a 0)的公共弦长为23，则a=________. 【答案】1

【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y

1

，利用圆心（0，a

1|22a0）到直线的距离d 为2 3 1，解得a=1 |

【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。

1 2

15. 若等边 ABC的边长为2，平面内一点M满足CM CB CA,则

63

MA MB ________.

【答案】-2

【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0),A(23,0),B(3,3)

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311 5

这样利用向量关系式，求得M(,)，然后求得MA (, ),MB ( , )，运

222222

用数量积公式解得为-2.

【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用。也体现了向量的代数化手段的重要性。考查了基本知识的综合运用能力。

16. 若关于x的不等式(2x 1)2 ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是_______. 【答案】(

2549,) 916

【解析】因为不等式等价于( a 4)x2 4x 1 0，其中( a 4)x2 4x 1 0中的

4a 0，且有4 a 0，故0 a 4，不等式的解集为

12 a

x

12 a

，

1111 则一定有1，2，3为所求的整数解集。所以3 4，解得a的范围42 a22 a

为(

2549

,) 916

【考点定位】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用。考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力。

三、解答题

17. （本小题满分12分）

在 ABC中，BC 5,AC 3,sinC 2sinA

（Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求sin(2A

4

)的值。

【答案】

2 10

ABBC

，于是sinCsinA

【解析】（1）解：在 ABC 中，根据正弦定理，

AB sinC

BC

2BC 25 sinA

AB2 AC2 BC2

（2）解：在 ABC 中，根据余弦定理，得cosA

2AB AC

于是sinA cos2A=

5， 5

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从而sin2A 2sinAcosA

43,cos2A cos2A sin2A 55

2

sin(2A ) sin2Acos cos2Asin

44410

【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦

和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。

18. （本小题满分12分）

为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂

（Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；

（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。

【答案】(1) 2，3，2(2)

11 21

71 ，639

【解析】 （1）解： 工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.

（2）设A1,A2为在A区中抽得的2个工厂，C1,C2B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂，

2

为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：C7种，随

机的抽取的2个工厂至少有一个来自A

区的结果有(A1,A2)，

(A1,B2)(A1,B1)(A1,B3)(A1,C2)(A1,C1),同理A2还能组合5种，一共有11种。所以所求

的概率为

1111

2

C721

【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。

19.如图，在四棱锥P ABCD中，PD 平面ABCD，AD CD，且DB平分 ADC，E

为

PC

的

中

点

，

AD CD 1

,

DB 22

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（Ⅰ）证明PA//平面BDE

（Ⅱ）证明AC 平面PBD

（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值

1 3

【解析】 证明：设AC BD H，连结EH，在 ADC中，因为AD=CD，且DB平分 ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH//PA,又

【答案】（1）略（2）略（3）

HE 平面BDE,PA 平面BDE,所以PA//平面BDE

（2）证明：因为PD 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD AC 由（1）知，BD AC,PD BD D,故AC 平面PBD

(3)解：由AC 平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以 CBH为直线与平面PBD所成的角。

由AD CD,AD CD 1,DB 22,可得DH CH 在Rt BHC中，tan CBH

232,BH 22

CH1

,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为BH3

1。 3

【考点定位】本小题主要考察直线与平面平行。直线和平面垂直。直线和平面所成的角等基础知识，考察空间想象能力、运算能力和推理能力。 20.（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn a1 a2q anq

n 1

Tn a1 a2q ( 1)n 1anqn 1,q 0,n N*

（Ⅰ）若q 1,a1 1,S3 15 ,求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若a1 d,且S1,S2,S3成等比数列，求q的值。

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（Ⅲ）若q 1,证明（1 q）S2n

2dq(1 q2n)*

(1 q)T2n ,n N2

1 q

【答案】（1）an 4n 3（2）q 2（3）略

【解析】 （1）解：由题设，S3 a1 (a1 d)q (a1 2d)q2,将q 1,a1 1,S3 15 代入解得d 4，所以an 4n 3n N*

（2）解：当a1 d,S1 d,S2 d 2dq,S3 d 2dq 3dq2, S1,S2,S3成等比数列，所

2

以S2 S1S3，即（d 2dq） d（d 2dq 3dq2)，注意到d 0，整理得q 2

2

（3）证明：由题设，可得bn qn 1，则

S2n a1 a2q a3q2 a2nq2n 1 ①

T2n a1 a2q a3q2 a2nq2n 1 ②

①-②得，

S2n T2n 2(a2q a4q3 a2nq2n 1)

①+②得，

S2n T2n 2(a1q a3q2 a2n 1q2n 2) ③

③式两边同乘以 q，得q(S2n T2n) 2(a1q a3q2 a2n 1q2n 2) 所以(1 q)S2n (1 q)T2n 2d(q q q

3

2n 1

2dq(1 q2n)

) 2

1 q

（3）证明：c1 c2 (ak1 al1)b1 (ak2 al2)b2 (akn aln)bn

1

=(k1 l1)db1 (k2 l2)db1q (kn ln)db1q因为d 0,b1 0，所以

n 1

c1 c2

(k1 l1) (k2 l2)q (kn ln)qn 1 db1

若kn ln，取i=n，

若kn ln，取i满足ki li，且kj lj，i 1 j n 由（1）（2）及题设知，1 i n，且

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c1 c2

(k1 l1) (k2 l2)q (kn ln)qn 1 db1

① 当ki li时，ki li 1，由q n，ki li q 1,i 1,2 ,i 1 即k1 l1 q 1，(k2 l2)q q(q 1), (ki 1 li 1)qi 2 q(q 1)i 2

c1 c21 qi 1i 2i 1

所以 (q 1) (q 1)q (q 1)q q (q 1) qi 1 1

db11 q

因此c1 c2 0

② 当ki li时，同理可得综上，c1 c2

c1 c2

1,因此c1 c2 0 db1

【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 21. （本小题满分12分）

设函数f(x)

13

x x2 (m2 1)x,(x R,)其中m 0 3

（Ⅰ）当m 1时，曲线y f(x)在点（处的切线斜率 1，f（1））（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1 x2。若对任意的

x [x1,x2]，f(x) f(1)恒成立，求m的取值范围。

【答案】（1）1（2）f(x)在( ,1 m)和(1 m, )内减函数，在(1 m,1 m)内增函数。函数f(x)在x 1 m处取得极大值f(1 m)，且f(1 m)=

231

m m2 332312

函数f(x)在x 1 m处取得极小值f(1 m)，且f(1 m)= m m

33

132/2'

【解析】解：当m 1时，f(x) x x,f(x) x 2x,故f(1) 1

3

1，f（1））所以曲线y f(x)在点（处的切线斜率为1.

（2）解：f(x) x 2x m 1，令f(x) 0，得到x 1 m,x 1 m

'

2

2

'

1 m 1 m 因为m 0,所以

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当x变化时，f(x),f'(x)的变化情况如下表：

f(x)在( ,1 m)和(1 m, )内减函数，在(1 m,1 m)内增函数。

231m m2 332312

函数f(x)在x 1 m处取得极小值f(1 m)，且f(1 m)= m m

33

1212

（3）解：由题设， f(x) x( x x m 1) x(x x1)(x x2)

33

122

所以方程 x x m 1=0由两个相异的实根x1,x2，故x1 x2 3，且

3

411

1 (m2 1) 0，解得m (舍)，m

322

3

因为x1 x2,所以2x2 x1 x2 3,故x2 1

2

1

若x1 1 x2,则f(1) (1 x1)(1 x2) 0，而f(x1) 0，不合题意

3

函数f(x)在x 1 m处取得极大值f(1 m)，且f(1 m)=若1 x1 x2,则对任意的x [x1,x2]有x x1 0,x x2 0,

1

x(x x1)(x x2) 0又f(x1) 0，所以函数f(x)在x [x1,x2]的最小3

12

值为0，于是对任意的x [x1,x2]，f(x) f(1)恒成立的充要条件是f(1) m 0,解

3

则f(x) 得

3 m

33

综上，m的取值范围是(,

1) 23

【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。 22. （本小题满分14分）

x2y2

已知椭圆2 2 1（a b 0）的两个焦点分别为F1( c,0),F2(c,0)(c 0)，过点

ab

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a2

E(,0)的直线与椭圆相交于点A,B两点，且F1A//F2B,|F1A| 2|F2B|

c

（Ⅰ求椭圆的离心率 （Ⅱ）直线AB的斜率；

（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m,n)(m 0)在 AF1C的外接圆上，求

n

的值。 m

【答案】（1）e

n22c2

（2）k （3）

m5a33

【解析】 （1）解：由F1A//F2B,|F1A| |F2B|，得

|EF2||F2B|1

,从而

|EF1||F1A|2

a2

c

1c22c a 3c，整理得，故离心率 e 2a2a3 cc

（2）解：由（1）知，b a c 2c，所以椭圆的方程可以写为2x2 3y2 6c2

2222

a2

)即y k(x 3c) 设直线AB的方程为y k(x c

y k(x 3c)

由已知设A(x1,y1)B(x2,y2)则它们的坐标满足方程组 2 22

2x 3y 6c

消去y整理，得(2 3k)x 18kcx 27kc 6c 0

2

2

222222

依题意， 48c(1 3k) 0,

3 k 33

18k227k2c2 6c2

,x1x2 而x1 x2 ，有题设知，点B为线段AE的中点，所以22

2 3k2 3k

x1 3c 2x2

9k2c 2c9k2c2 2c2

,x2 联立三式，解得x1 ，将结果代入韦达定理中解得22

2 3k2 3k

k

2

3

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(3)由（2）知，x1 0,x2

3c2，当k 时，得A(0,2c)由已知得C(0, 2c) 23

c2c2c

(x ),直线l与x轴的交点(,0)是

2222

线段AF1的垂直平分线l的方程为y

cc

AF1C的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为(x )2 y2 ( c)2

22

c29c22

(m ) n

直线F2B的方程为y 2(x c)，于是点H(m,n)满足方程组 24

n 2(m c)

由m 0，解得m

5c22cn22

，故 ,n

32m5

当k

2n22时，同理可得 3m5

【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基础

知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。