2_线性光学系统分析

第二章线性系统分析

一、线性系统几个基本概念二、线性不变系统：传递函数三、线性不变系统：本征函数四、线性不变系统：滤波器五、线性系统抽样定理六、线性系统抽样定理的MATLAB实现

2015年3月19日11时17分

第二章

线性系统分析

一、线性系统:线性系统 线性系统的符号输入 f(x,y)系统记作 L{}输出 g(x,y)

L f (x,y ) =g(x,y )用算符 L 2015年3月19日11时17分

描述系统的作用！第二章线性系统分析

一、线性系统:线性系统定义若对于任意两个输入函数f1和f2

g 1(x,y ) L f1(x,y ) g 2(x,y ) L f2(x,y ) 对于任意复数常数a1和a2,均有如下关系成立：

L a1f1(x,y ) a2f2(x,y ) L a1f1(x,y ) L a2f2(x,y ) a1L f1(x,y ) a2L f2(x,y ) a1g 1(x,y ) a2g 2(x,y )则表明该系统是线性系统！2015年3月19日11时17分第二章线性系统分析

一、线性系统几个基本概念:线性系统演示 线性系统叠加性的图像演示请注意这里的响应，不同位置的响应。演示的仅仅是线性系统的意义，系统并不是线性不变系统

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第二章

线性系统分析

一、线性系统：基元函数的系统响应(系统是一个线性系统)输入 f(x,y)(傅里叶级数展开)分

系统记作 L{}

输出 g(x,y)

L ai f i x, y ai gi x, y

解

合成

一系列的“基元函数”的和

对应的“基元函数”响应的和

f x, y ai f i x, y i 1

m

a g x, y g x, y i 1 i i

m

(这些基元函数可能是 函数、阶跃函数、余弦函数或复指数函数等形式)

问：如何确定基元函数的响应？2015年3月19日11时17分第二章线性系统分析 5

一、线性系统：基元函数为 函数任意函数都可以看作xy平面上不同位置处的很多 函数的线性组合，而每一个位于 ( , )坐标的 函数的权重因子就是函数在该点的数值f( , )。这种分解方法称为脉冲分解。

f x, y 系统的输出为：

f , x , y d d

g x, y L f x, y L f , x , y d d

系统是线性的，系统算符 L 可以写进积分号内(与积分算符交换顺序),直接作用到各个基元函数上：

g x, y 2015年3月19日11时17分

f , L x , y d d 第二章线性系统分析 6

一、线性系统：基元函数为 函数若令

f , L x , y d d h x, y; , L x

, y g x, y

它表示系统输出平面(x,y)点对应于输入平面坐标( , )点的 函数响应，称为系统的脉冲响应。图示如下

系统输出进一步表示成：

g x, y

f , h x, y; , d d

上式描述了线性系统输入和输出的关系，称其为“叠加积分”; 只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲响应，就可以通过叠加积分完全确定系统的输出； 反过来，若系统输入和输出满足上述叠加积分关系，该系统必然是线性系统。2015年3月19日11时17分第二章线性系统分析 7

一、线性系统:基元函数为 函数脉冲响应的理解 脉冲输入、脉冲响应、脉冲输出图示 x

脉冲输入

输入

脉冲响应

输出

脉冲输入：物理尺寸无限小的单位输入 函数。输入：脉冲输入构成的一个时间或空间序列f。脉冲响应：单个脉冲经过系统以后的输出称为脉冲响应，即系统对单个脉冲施加的变换。h x, y; , L x , y 输出：所有脉冲响应经叠加以后构成的新的序列。 数学实现： g x, y f , h x, y; , d d

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线性系统分析

一、线性系统：函数脉冲分解 函数脉冲分解的探测器实现(单探测器，线阵CCD,平面CCD)光源 F(x,y)探测器

均匀光源照明分解条件：1、入射光绝对均匀； 2、探测器紧靠物(物可以为胶片); 3、探测器响应为线性。问题提出：1、当探测器为单个硅光电探测器时； 2、当探测器为64与64阵列的SPD、CCD或CMOS器件时； 3、当探测器阵列足够小，探测器单元是一脉冲函数时，实现操作？2015年3月19日11时17分第二章线性系统分析

一、线性系统:线性不变系统1)线性不变系统——线性系统的一个子类

根据“叠加积分”原理，只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲响应，就可以通过叠加积分完全确定系统的输出。但是，要得到输入平面上所有可能位置上的脉冲响应是非常困难的，甚至是不可能的。 2)线性不变系统的定义若

L t h t

若输入脉冲延迟时间 ,其相应h仅仅有相应的时间延迟 ,而函数形式不变，这样的系统称为时不变系统。若

L x , y h x, y; , h x , y

一个空间脉冲在输入平面位移，线性系统的响应函数形式不变，只是产生了相应位移，这样的系统称为空间不变系统或位移不变系统。2015年3月19日11时17分第二章线性系统分析 10

一、线性

系统：线性不变系统

空间不变线性系统的脉冲响应：理想光学成像系统理解L ( x , y ) h( x, y; , ) h( x , y )

当亮度不同的点源在物平面移动时，点光源的像(响应)只相应改变位置，而不改变它的形状即函数形式；这样的成像系统就是线性空间不变的问：理想光学系统是一个什么样的系统？?实际成像系统呢？小孔成像系统可不可以看成是一个线性不变系统？为什么？2015年3月19日11时17分第二章线性系统分析

一、线性系统:线性不变系统 线性不变系统叠加积分即卷积积分的导出g(x,y )

f ( , )L{ (x ,y )}d d f ( , )h(x,y; , )d d f ( , )h(x ,y )d d

叠加积分卷积积分卷积表示

f (x,y ) * h(x,y )物理意义

1.把输入函数f(x,y)分解为许多脉冲的线性组合，每个脉冲都按其位置加权，然后把系统对于各个脉冲的平移不变响应通过卷积叠加在一起就得出对于 f(x,y)的整体响应g(x,y)。 2.假如系统的输入—输出关系可由上式的卷积积分描述，就可以认为这个系统是线性不变系统，反之也成立2015年3月19日11时17分第二章线性系统分析

二、线性不变系统：传递函数g x, y f x, y h x, y 卷积定理G fx, f y H fx, f y F fx, f y

G f x, f y = g x, y

H f x, f y = h x, y

F f x, f y f x, y

输出频谱从空间域入手计算系统的输出

传递函数

输入频谱

从频率域入手计算系统的输出

*传递函数定义为系统脉冲响应的傅里叶变换.物理意义：如果知道了系统的在每一个频率的传递函数，那我们就可以得到输入的输出谱2015年3月19日11时17分第二章线性系统分析 13

二、线性不变系统：传递函数 传递函数概念：图像理解一空域g ( x, y) f ( x, y) * h( x, y)

富里叶变换

频率域

G( f x, f y ) F ( f x, f y ) H ( f x, f y )

问题：如果我们知道了一个系统对一个输入的频率调制能力，请问是否可以得到输出？?如何计算？F(fx) fx输入频率分布 G(fx)=0或F(fx)fx

H(fx)=0或1 fx系统频率调制特性

输入的输出2015年3月19日11时17分第二章线性系统分析

二、线性不变系统：传递函数 传递函数概念：图像理解二H(fx)=三角形函数100%或1

F(fx)fx G(fx)=三角函数调制以后的结果 fx

fx

知道输入频谱与传递函数，可以求得输出：输出空间的函数为：

G( f x, f y ) F ( f x, f y ) H ( f x, f y )

g(x,y ) (G(fx,fy )

结论：称H(fx,fy)为系统的传递函数，它表征了系统对输入在频域的

传递能力。也可理解为系统在频域中的特性。即它决定了输入频谱中各种频率成分通过系统时将发生什么样的变化或受到什么样形式的调制。这种调制就可以是振幅也可以是相位。2015年3月19日11时17分第二章线性系统分析 15

二、线性不变系统：复指数函数与传递函数输入函数分解成复指数函数的线性组合输出函数看成输出谱的复指数函数线性组合输出可以表示输入经线性不变系统过程 g ( x, y ) L f ( x, y ) L F ( f x, f y ) exp j 2 ( f x x f y y ) df x df y

F ( f x, f y ) L exp j 2 ( f x x f y y ) df x df y

g ( x, y ) f ( x, y ) * h ( x, y )

输出又可以表示成输出谱的FT

F ( f x, f y ) H ( f x, f y ) exp[ j 2 ( f x x, f y y )]df x df y

L 1 exp j 2 ( f x x f y y) H ( f x, f y ) exp j 2 ( f x x f y y)

意义：1)系统对某一频率的调制能力，这种调制即表现在相位，也表现在振幅，传递函数又称为频率响应，它描述了系统在频率域的特性。2)某种频率的成份通过系统时，系统仅改变他的振幅同相位，但并不会衍生新的频率成份。

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