三角函数中的数形结合例题及其解法
三角函数中的数形结合例题及其解法
三角函数中的数形结合例题及其解法
在三角函数中,利用数形结合的思想解决一些问题可以带来极大的方便,也容易理解,使一些抽象的问题形象化。
【例1】函数f(x)=sinx+2sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点,则k的取值范围是 .
【分析】本题根据函数解析式,画出图象,可以直观而简明地得出答案,在有时间限制的高考中就能大大地节约时间,提高考试的效率.
解:函数f(x
)=由图象可知:1<k<3.
【例2】若sinα+cosα=tanα(
0<α<),则α∈( ).
解:令f(x)=sinx+cosx=
横从标xP>
故选C. sin(
x+ )(0<α<),g(x)=tanx,画出图象,从图象上看出交点P的≈1.732>1.367,由图象知xP应小于..再令α=,则sin+cos=≈1.366,tan=
【点评】 本题首先构造函数f(x),g(x),再利用两个函数的图象的交点位置确定α>
B两选项,然后又用特殊值估算,结合图象确定选项C,起到了出奇制胜的效果. ,淘汰了A、【例3】 已知函数f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时f(x)图象如下图所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集是( ).
三角函数中的数形结合例题及其解法
解:函数f(x)定义在(-3,3)上,且是奇函数,根据奇函数图象性质可知,f(x)在(-3,0)上的图象如图所示,若使f(x)cosx<0,只需f(x)与cosx异号,即图象须分别分布在x轴上下侧,由图可知,有三部分区间符合条件要求,即(-,-1)∪(0,1)∪(,3),故选B.
【点评】已知函数的一部分图象,根据函数的性质可得到函数的另一部分图象,利用数形结合的思想,可以先画出完整的函数图象,再研究有关问题.
另外,单位圆在求值域、定义域等问题中也有广泛应用。用单位圆理解问题十分实用,是三角函数中必须掌握的。在此就不多举例了。
数形结合在三角函数中有广泛的应用,也会带来出其不意的效果,在上面的例题中可见一斑。所以一定要充分掌握,提高解题速度。
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