大学物理下毛峰(6)

解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，

沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有

sin??Td2mgx1?mdt2 T1R?T2R?I? d2xdt2?R? T2?k(x0?x) 式中x0?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有

mR?IR)d2(xdt2??kxR

令 ?2?kR2mR2?I 则有

d2xdt2??2x?0 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

T?2?mR2???2?Im?I/R2kR2(?2?K) 6、质量为10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8??2?3)求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等? 解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：

A?0.1m,??8?,?T?2???14s,?0?2?/3 又 v?1?1m??A?0.8?m?s ?2.51m?s

①

②

③ (SI)的规律作谐振动，

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am??2A?63.2m?s?2

(2) Fm?mam?0.63N

E?当Ek?Ep时，有E?2Ep， 即

12mvm?3.16?10?2J 212112kx??(kA) 222∴ x??22A??m 2207、一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是：

(1)x0??A；

(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x?A处向负向运动； 2(4)过x??A2处向正向运动．

试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ??x0?Acos?0

?v0???Asin?02?t??) T2?3x?Acos(t??)

T22??x?Acos(t?)

T32?5x?Acos(t??)

T4x?Acos( ,速度

,加速

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

?1???2???3??4?8. 物体沿x轴作简谐振动，在度

,试求：

32?35?4时刻，其坐标为

（1）弹簧振子的角频率和周期； （2）初相位和振幅。

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解：设 ，则时

(1)

(2)

0.00922?8.5 cm A?x?2?0.085??023.522022v0tan???

v0?0.0092????0.00461 ?0x023.5?(?0.085)??95.10

处，且向左运动时，另

9、两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在一个质点2在

处，且向右运动。求这两个质点的相位差。

解：由旋转矢量图可知，当质点1在而质点2在

处，且向左运动时，相位为

；

。

处，且向右运动，相位为（如图）。所以他们的相位差为

?310、一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：

(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间；

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(3)在x?12cm处物体的总能量．

解：由题已知 A?24?10?2m,T?4.0s ∴ ??2?T?0.5?rad?s?1

又，t?0时，x0??A,??0?0 故振动方程为

x?24?10?2cos(0.5?t)m

(1)将t?0.5s代入得

x20.5?24?10?cos(0.5?t)m?0.17m

F??ma??m?2x??10?10?3?(?)2?0.17??4.?3

22?10N方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，

t?t时 xA0??2,且v?0,故??t?3 ∴ t??????3/?2?23s (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

E?1kA2?12m?2A22?1?10?10?3(?2)2?(0.24)22 ?7.1?10?4J11、图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．

解：由题图(a)，∵t?0时，x30?0,v0?0,??0?2?,又,A?10cm,T?2s 即 ??2?T??rad?s?1

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故 xa?0.1cos(?t?由题图(b)∵t?0时，x0?3?)m 2A5?,v0?0,??0? 23255又 ?1???1????

325∴ ???

655?)m 故 xb?0.1cos(?t?6312、一物块在水平面上作简谐振动，振幅为10 cm，当物块离开平衡位置6 cm时，速度为24 cm/s。

问：

（1）此简谐振动的周期是多少？

（2）物块速度为12 cm/s时的位移是多少？ 解：设

已知

，故

，

,

t?1时，x1?0,v1?0,??1?2???

(1)当

（2）当

时

13、一长方形木块浮于静水中，其浸入部分高为a，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分高度为b，然后放手任其运动。试证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动，并求出振动周期和振幅。 解：

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