吴赣昌编 - 《概率论与数理统计》（经管类三版）第一章和第二章(9)

补充题

1、设某人用同一机床接连独立地生产3个同种零件，第I 个为不合格的概率为pi?求三个零件中合格数量的分布律。 解：设X=“三个零件中合格数”，则X：0，1，2，3； 设Ai=“第i个产品合格”，则由题意，P(A1)?所以：

1(i?1,2,3)，i?1111,P(A2)?,P(A3)?, 2341（因为独立） 246（独立与互斥）P{X?1}?P{三个中有2个不合格}?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)?2411（独立与互斥） P{X?2}?P{三个有1个不合格}?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)?241116 P{X?3}?P{三个中都合格}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?(1?)(1?)(1?)?2342412、设X为随机变量，且P{X?k}?k(k?1,2,...)，则

2P{X?0}?P{三个都不合格}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?（1）判断上式是否为X的分布律，（2）若是，求P{X是偶数}，P{X?5}

11解：（1）由?k?2?1知上式是X的分布律

1k?121?2?(2) P{X是偶数}?P{X?2n}?11/41?? ?2n13n?121?44?P{X?5}?1?P{X?5}?1??11 ?k216k?13、（女士品酒：实际推断原理）有甲乙两种味道和颜色极其相似的酒各4杯。从中挑出4杯酒，如果全

部将甲种酒挑出，算是成功一次。

（1）某人随机地去取，问他试验成功一次的概率是多少？

（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，结果他成功了3次，试推断他是猜对的，还是确有区分的能力？（各次试验是独立的） 解：设A=“成功一次” （1）P(A)?11，这个概率相当地小。 ?4C870（2）设X表示他10次品尝中成功的次数，由题意知X~B(10,

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1)， 70所以从理论上计算他在10次品尝中能成功3次的概率为

3P{X?3}?C10(131)(1?)7?0.0003 7070即，如果此人仅是随机品尝（即是随机去猜的）的概率仅为0.0003，也可以说10次品尝中仅能成功的

最大次数为0.003；而实际上他成功了3次，说明他确有区分的能力（实际推断原理）

补例：一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。

（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。

（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。 解：（1）X的可能取值为1，2，3，?，n，?

P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去}

21 =()n?1?， n=1，2，??

33（2）Y的可能取值为1，2，3

1 3 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去}

P {Y=1}=P {第1次飞了出去}= =

211?? 323 P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去}

2!1? 3!3 =

(3)P{X?Y}???P{Y?k}P{X?Y|Y?k}k?133?P{Y?k}P{X?Y|Y?k}k?2?全概率公式并注意?到 ??P{X?Y|Y?1}?0??

???

?P{Y?k}P{X?k}k?23注意到X,Y独立即 P{X?Y|Y?k}

?111?121?8???????27333?333???P{X?k}同上，P{X?Y}??P{Y?k}P{X?Y|Y?k}

k?133 ?1121419 ???????P{Y?k}P{X?k}?1333932781k?1故P{Y?X}?1?P{X?Y}?P{X?Y)?

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4、从发芽率为0.999的大批种子里，随机抽取500粒，进行发芽试验，计算500粒中没有发芽的比例不超过1%的概率。

解：设X：500粒种子中没有发芽的粒数，由于500粒相对于一大批种子来说是很小的一个数，因此可近似地认为X~B(500,0.001)，所求概率为

P{X?500*1%}?P{X?5}??C0.0010.999k500k05500?k0.5k?0.5??e

k!055、某产品表面的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点（即均值??0.8），规定疵点数

不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元，4个以上者为废品，求（1）产品为废品的概率，（2）产品价值的分布列。 解：设X：产品表面的疵点数，则X~P(0.8)

0.8k?0.8e?0.0014 （1）P{X?4}?1?P{X?4}?1??k!k?04（2）设Y：产品的价值，则Y：0，8，10

0.8k?0.8e?0.1898 P{Y?0}?P{X?4}?0.0014，P{Y?8}?P{1?X?4}??k?2k!40.8k?0.8P{Y?10}?P{X?1}??e?0.8088，既得Y的分布律。

k!k?016、设在一段时间内进入商店的的顾客人数X服从泊松分布，每个顾客购买每种物品的概率为p，

并且各个顾客是否购买该种物品是相互独立的，求进入商店的顾客购买这种物品的人数的概率分布。 解：X为进入商店的顾客人数，则P{X?m}??mm!e??(m?0,1,2,...)

设Y为购买物品的顾客人数，在进入商店的人数为m名的条件下，购买某种物品的人数Y服从二项分

kkp(1?p)m?k,(k?0,1,...m)这是条件分布问题。 布，可记为P{Y?k|X?m}?Cm要求进入商店的顾客购买这种物品的人数的概率分布， 即求分布律P{Y?k}?pk(k?0,1,2,...,m,...)

由于S?{X?0}?{X?1}?...?{X?m}?...

所以{Y?k}?{X?0,Y?k}?{X?1,Y?k}?...?{X?m,Y?k}?...

所以P{Y?k}?k?1m?0?P{X?m,Y?k}??P{X?m,Y?k}??P{X?m,Y?k}

m?0m?k??k?1???P{X?m,Y?k}??P{X?m}P{Y?k|X?m}

m?0m?k（当k >m时，购买物品的人数多于顾客数这是不可能的，P{X?m,Y?k}=0）

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m?k?P{X?m}P{Y?k|X?m}

????m?k???mm!e?Cp(1?p)??kmkm?k??m?k??mm!e???m!pk(1?p)m?k

k!(m?k)!1?[?(1?p)]m?k(?p)k???(1?p)(?p)k??p?e(?p)?ee?e ?k!m?k(m?k)!k!k!k

?x,0?x?137?7、设X~f(x)??ax?b,1?x?2，且P{0?X?}?，求

28?0,other?（1）常数a，b；（2）P{1/2?X?3/2}；（3）F(x)

解：（1）由下列方程组可求得a，b

?00dx?1xdx?2(ax?b)dx???0dx?1??f(x)dx?1?0?1?2???????? ??1.51.57?17?P{0?X?1.5}??f(x)dx???xdx??(ax?b)dx?018?08?（2）类似（1）中的方程2可得

（3）类似第一题的求法

8、设X和Y具有相同的分布，X的密度函数为f(x)?32x,0?x?2；已知事件A=\x?a\与8事件B=\Y?a\是相互独立的，并且P(A?B)?3/4，求数a。

2解： P(A)?P(B)?P{x?a}??a32a3xdx?1? 88a3a3a32P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?(1?)?(1?)?(1?)?3/4?a?4 8889、某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：

?1000?f(x)??x2??0x?1000其它

现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500

小时的概率是多少？

解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为

P(X?1500)?1?P(X?1500)?1??1?(1?

?1500100022)?331000?1000(?1)1500?dx?1???x1000??x2

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令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y~B(5,2)，321??11P(Y?2)?1?P(Y?2)?1??P(Y?0)?P(Y?1)??1??()5?C5?()?()4?33??3

1?5?211232?1??1??243243351?x210、设X~N(?,?),f(x)?e6?求?,?；若已知

22?4x?46，

??cf(x)dx??f(x)dx，求c

???(1e22??31x?22)3c解：（1）提示将密度函数化成正态分布的标准形式

1?xf(x)?e6?2?4x?46?，所以??2,??3

2（2）f(x)关于y轴对称，所以c=2

11、抽样调查表明，考生的外语成绩近似服从正态分布，已知平均成绩为72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，求考生的外语成 …… 此处隐藏：2847字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……