吴赣昌编 - 《概率论与数理统计》（经管类三版）第一章和第二章(4)

两类书的顾客，设P(ABC)?x,P(ABC)?y,P(ABC)?z， 则由所有购书的顾客共购买了150书知：P(A?B?C)?1，所以有

0.2+0.25+0.15+0.1+x+y+z=1 （1）

另外，设购买书的总人数为w，则卖出的50本数学书应该是总人数乘以只购数学、购数学和外语、购数学和理化及三种书都购所占比例之和，即

w(0.2?x?y?0.1)?50 （2）

同理可得：

w(0.25?x?z?0.1)?50 （3） w(0.15?z?y?0.1)?50 （4）

联立四个方程成方程组，解得w=100,x=0.05,y=0.15,z=0.1, 所以（1）共有100名顾客购书，（2）只购数学和外语的占5%

8、设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任取3件（分三种抽样方式）求 （1）取出的三件中恰有一件是次品的概率； （2）取出的三件中至少有一件是次品的概率

解：与例题相仿。

9、某宾馆一楼有3部电梯，现有5人要乘坐，求每部电梯至少有一人的概率。 解：设A=“每部电梯至少有一人”，其对立事件为A=“有电梯中没有人”等价于至少有一部电梯中无人，设Bi=“第I部电梯中无人”，则A?B1?B2?B3， 所以，P(A)?1?P(A)?1?P(B1?B2?B3)

?1?[P(B1)?P(B2)?P(B3)?P(B1B2)?P(B1B2)?P(B2B3)?P(B1B2B3)]

2515 有题意可知P(Bi)?5，P(BiBj)?5,P(B1B2B3)?0

33所以P(A)?1?3?()?3?()?另解：两种坐法

（1）一部电梯有1人，另两部电梯各有2人：C3C5C4C2?90 （2）一部电梯有3人，另两部电梯各有1人：C3C5C2C1?60

所以P(A)?1311112223513550 8190?6050 ?538110、某教研室共11名老师，其中7名男教师，现从中任选3名为优秀教师，求3名优秀者至少有

一名女教师的概率。

解：设A表示“3名优秀者至少有一名女教师”，则A?“3名优秀者没有女教师”

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3C7所以P(A)?1?P(A)?1?3

C1111．某地区电话号码由8打头的八个数字组成的八位数，求 （1）八个数字全不相同的概率 （2）八个数字不全相同的概率

解：（1）设A表示“八个数字全不相同”，则后面的七个数字是从除8以外的九个数字中任取7个

A97的排列。所以P(A)?7

10（2）设B表示“八个数字不全相同”，则B表示八个数字全是8，所以

P(B)?1?P(B)?1?1 71012、甲乙两人先后从52张牌中各取13张，求甲或乙拿到四张A的概率 （1）甲抽后不放回，乙再抽；（2）甲抽后放回，乙再抽 解：设A=“甲抽到4张A”，B=“乙抽到4张A”

（1）因为甲抽到4张A后，乙不可能抽到A，随意A与B互斥，所求概率为

4913499C4C48C48C4C392C48P(A?B)?P(A)?P(B)??13?13（B是在甲抽完13张后乙再取） 1313C52C52C39C5249494949C4C48C4C48C4C48C4C48??（2）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)? 13131313C52C52C52C3913．包括a和b二人在内的n个人排队，问a和b间恰好有r个人的概率

解：设A表示“a和b间恰好有r个人”，n个人共有n!种站法； a和b间恰好有r个人，而a可在前也可在后，两者具有对称性。

假设a在前，b在后，则a可能的站法共有（n?r?1）种，a确定了，b也随着确定，其它n?2个人在剩余的n?2个位置上全排列

y2(n?r?1)(n?2)!2(n?r?1)所以P(A)? ?x n!n(n?1)14、随机地向半圆0?y?2ax?x2（a为正常数）内掷一点，点落在园内任

?/40ya x 何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于?/4的概率.

解：半圆域如图

设A?‘原点与该点连线与x轴夹角小于?/4’ 由几何概率的定义

1212?a?aA的面积2 P(A)??412半园的面积?a215．略

16．10个考签中有4个难签，三个人参加抽签(无放回)甲先，乙次，丙最后，试问(1) 甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少? (2) 甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少?

【解】令A、B、C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件， （1）所求概率为

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P(ABC)?P(A)P(B|A)P(C|AB)?（2）因为抽签时按甲、已、丙的次序先后抽取，所以 甲抽得难签的概率为：P(A)?4321??? 1098304?0.4； 10乙抽得难签这一事件B?AB?AB， 所以乙抽得难签的概率为

P(B)?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)

?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?同理，C?ABC?ABC?ABC?ABC 而P(ABC)?4364????0.4 1091091 306431??? 1098104631??? 109810P(ABC)?P(A)P(B|A)P(C|AB)?P(ABC)?P(A)P(B|A)P(C|AB)??P(ABC)?P(A)P(B|A)P(C|AB)?因而丙抽得难签的概率为

6541??? 10986 P(C)?P(ABC?ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

?

1111????0.4 301010617. 一批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取一个零件，取后不放回，如果取到一个合格品就不再取下去，求在三次能取到合格品的概率。

解：设Ai表示第i次取到合格品，A表示“三次能取到合格品”，则由题意

A?A1?A1A2?A1A2A3，且互斥，

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所以P(A)?P(A1)?P(A1A2)?P(A1A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) ?

18、假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率.

解 设Ai?‘第i次取出的零件是一等品’，i?1,2. Bi?‘取到第i箱’，i?1,2. 则 （1）P(A1)?P(B1)P(A1|B1)?P(B2)P(A1|B2)? （2）P(A2|A1)? ?90109010990?.?.. 1001009910099981132(?)?. 2555P(A1A2)P(A1A2B1?A1A2B2)?

P(A1)P(A1)P(B1)P(A1A2|B1)?P(B2)P(A1A2|B2)

P(A1)

22?C181?C10?22?2?CC?951?30???50????4?0.4856 2?4929?519．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“．”和“—”，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“．”时，收报台未必收到信号“.”，而是分别以0.8和0.2收到“．”和“—”；同样，发出“—”时分别以0.9和0.1收到“—”和“．” 。如果收报台收到“．”，问它没收错的概率？

解： 设A={发报台发出信号“．”}，A={发报台发出信号“—”}，B＝｛收报台收到“．”｝，B＝｛收报台收到“—”｝；于是，P(A)?0.6，P(A)?0.4，P(B|A)?0.8，P(B|A)?0.2，

P(B|A)?0.9，P(B|A)?0.1；按贝叶斯公式，有

P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)0.6?0.8???0.5714

P(B)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.6?0.8?0.4?0.9所以没收错的概率为0.5714.

20、罐子中有b只黑球，r只红球，从中任取一球，观察颜色后放回，并加进同颜色的c个球，再到第二次，方法同上，如此进行下去，求：

（1）第一、二次取到红球，第三次取到黑球的概率； （2）第一、三次取到红球，第二、四次取到黑球的概率. 【解】令Bi＝{第i次取到黑球}，则Bi＝{第j次取到红球}；

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由题意得，

（1）P(B1B2B3)?P(B1)?P(B2B1)?P(B3B1B2)?rr?cb ??b?rb?r?cb?r?2c（2）P(B1B2B3B4)?P(B1)?P(B2B1)?P(B3B1B2)?P(B4|B1B2B3)

?

rbr?cb?c ???b?rb?r?cb?r?2cb?r?3c21．设口袋中装有2n?1只白球，2n只黑球，一次取出n只球，如果已知取出的球是同一颜色， …… 此处隐藏：3112字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……