吴赣昌编 - 《概率论与数理统计》（经管类三版）第一章和第二章(2)

11C5(C82?C4)?C5213? 所以P(A)?P(C?D)?P(C)?P(D)?4C102111、把52张牌发给四人，求指定的某人没有得到黑桃A或黑桃K的概率。

解：设C=“指定的某人没有得到黑桃A或黑桃K”， 则其对立事件为C=“指定的某人得到黑桃A和黑桃K”

11C50P(C)?1?P(C)?1?13

C5212、50只铆钉随机装入10个部件上，其中3个铆钉强度太弱。每个部件装有3个铆钉。如果3只强度太弱的铆钉都装入同一个部件，则这个部件的强度太弱，求发生一个部件强度太弱的概率。

解：

法一：用古典概率作：

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）

3333?C47?C44???C23对E：铆法有C50种，每种装法等可能

3333?C47?C44??C23对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔C3〕×10种

P(A)?3333[C3?C47?C44???C23]?10333C50?C47????C23?1?0.00051 1960法二：用古典概率作

把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）

3对E：铆法有A50种，每种铆法等可能

对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，?或“28，29，30”位置上。

327327327327?A47?A3?A47????A3?A47?10?A3?A47这种铆法有A3种

P(A)?32710?A3?A4730A50?1?0.00051 1960法三：3个强度太弱的铆钉有可能装入10个部件中的任何一个，

不妨设Ai=“第I 个部件的强度太弱”=“3个强度太弱的铆钉装入第i个部件”

3C31所以P(Ai)?3?

C5019600A=“发生一个部件强度太弱”，则A?101?A，且两两互斥，

ii?110所以P(A)?

?P(Ai)?1 19606

13、３张考签，３人应试，一人抽１张后放回，再由另一人抽，求抽签结束后，至少有１张没有被抽到的概率。

解：法一：设Ai?“第ｉ张考签没有被抽到”，Ａ＝“至少有１张没有被抽到”，

2313则，因为是重复抽取，所以P(Ai)?3，P(AiAj)?3，P(AiAjAk)?0，

33所以，

P(A)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A1A2)?P(A1A3)?P(A3A2)?P(A1A2A3)?3?

817?3??0?2727933A3A37法二：A?“三张都被抽到”，则P(A)?3，所以P(A)?1?P(A)?1?3?

33914、从1-9的9个数中有放回地取3次，每次取一个，求取出的3个数之积能被10整除的概率。

解：取出的3个数中应有偶数，且必须有5，才能保证三数之积能被10整除。. 设A=“取出的3个数中有偶数”，B=“取出的3个数中有5”，所求概率为

584P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?1?()3?()3?()3?0.214

99915、提示 如右图所示

（1）带点的四个区域的面积所占的比例

（2）6个黑框和4个带点区域的面积和所占的比例

习题1－4

1、一批产品100件,80件正品, 20件次品, 其中甲厂生产60件,有50件正品, 10件次品,余下的40件均由乙厂生产. 现从该批产品中任取一件, 记A=“正品”,Ｂ=“甲厂生产的产品”. 求下列概率.

P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B)

解：P(A)?8060505505?0.8,P(B)??0.6,P(B|A)??,P(A|B)?? 100100808606【注】：要注意条件概率与概率之间的区别。

2、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.

3 解 设Ai?‘任取一件是i等品’ i?1,2,，

所求概率为 P(A1|A3)?因为 A3?A1?A2

P(A1A3)，

P(A3)0.?60.?3 0.P(9AP(A)1A3)?1?0. 6?P(2A?)所以 P(A3)?P(A1)故 P(A1|A3)?3、P(A)?62? 93111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)。 432 7

11?定义P(AB)P(A)P(B|A)由已知条件143?P(B)?1 解：由P(A|B)???????有?P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1 121111??? 46123由加法公式，得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?4、设事件A,B满足：P(A)?0.7,P(B)?0.5,P(A?B)?0.3，求

P(AB),P(B?A),P(B|A)

解： P(AB)?P(A)?P(A?B)?0.7?0.3?0.4

P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.4?0.1， P(B|A)?P(B|A)P(BA)1?P(A?B)1?[P(A)?P(B)?P(AB)]???

P(A)1?P(A)1?P(A)1?P(A)5、设事件A,B互斥，且0?P(B)?1，试证明：P(A|B)?P(A)。

1?P(B)证：因为事件A,B互斥，所以P(AB)?0，所以

P(A|B)?P(AB)P(A)?P(AB)P(A) ??P(B)1?P(B)1?P(B) 6、甲、乙两人参加乒乓球比赛，甲先发球，甲发球成功后，乙回球失误的概率为0.3；若乙回球成

功，甲回球失误的概率为0.4；若甲回球成功，乙再次回球失误的概率为0.5，计算这几个回合中乙输一分的概率。

解：本次比赛共进行两个回合，甲发一次球，回一次球，而乙回球两次。乙输分的可能情况有：甲发球成功，乙回球失误；或甲发球成功，乙第一次回球成功，甲第一次回球成功，而乙第二次回球失误。所以

设A=“甲回球失误”B=“第i次乙回球失误”，由题意，已知下列概率，

P(B1)?0.3,P(A|B1)?0.4,P(B2|B1A)?0.5

则p{乙输一分}

=P(B1?B1AB2)?P(B1)?P(B1AB2)?P(B1)?P(B1)P(A|B1)P(B2|B1A)?0.51

7、一个盒子中装有15个乒乓球【原题为12个球】，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。 解 设A?‘第二次取出的均为新球’， Bi?‘第一次取出的3个球恰有i个新球’i?0,1,2,3.

由全概公式P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?P(B3)P(A|B3)

33121333C6C9C9C6C83C92C6C7C9C6?3?3?3?3?3 ?3?3?3C15C15C15C15C15C15C15C15528 ??0.089

59158、某仓库有同样规格的产品六箱，其中三箱是甲厂生产，二箱由乙厂生产，另一箱由丙厂生产，且它们的次品率依次为1/10，1/15，1/20，现从中任取一件产品，试求取得的一件是正品的概率。

8

解：设Ai表示取到的一件产品是由第i厂生产的，B表示取到的产品是次品，由题意知

321P(A1)?,P(A2)?,P(A3)?,P(B|A1)?1/10,P(B|A2)?1/15,P(B|A3)?1/20，

666且A1?A2?A3?S，所以由全概率公式可得

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)

i?139、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

解：记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

??H?A1?A1A2?A1A2A3　三种情况互斥P(H)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

?1919813??????10109109810如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。

P(H|B)?PA1|B?A1A2|B?A1A2A3|B)

?P(A1|B)?P(A1|B)P(A2|BA1)?P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA1A2) ?

10、一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的

P概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，

2求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

解：Ai={他第i次及格}，i=1,2

已知P (A1)=P (A2|A1)=P，P(A2|A1)?P

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