吴赣昌编 - 《概率论与数理统计》（经管类三版）第一章和第二章(6)

13、设在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数服从参数与t成正比的泊松分布。已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内最多有一辆汽车通过的概率。

解：设X(t)表示在时间t（分钟）内通过某交叉路口的汽车数，则X(t)~P(at)

a0?a由题意X(1)~P(a)，所以0.2?P{X(1)?0},即0.2?e，所以a?ln5

0!又X(2)~P(2ln5)，所以，

(2ln5)k?2ln51e?(1?2ln5) 所求概率为P{X(2)?1}??k!25k?01

习题2-3

3. 已知离散型随机变量X的分布列为：P(X?1)?0.2,P(X?2)?0.3，P(X?3)?0.5，试写出X的分布函数。 解 X的分布列为 XP1230.20.30.5 所以X的分布函数为

?0,?0.2,? F(x)???0.5,??1,

x?1,1?x?2,2?x?3,x?3.

6、设随机变量X的分布函数为

F(x)?A?Barctanx，???x??，

求：（1）系数A与B；（2）P(?1?X?1)；（3）X的概率密度。 解 （1）由分布函数的性质

??0?F(??)?A?B???2 ?

??1?F(??)?A?B???211于是 A?，B?，所以X的分布函数为

?211 F(x)??arctanx ???x??，?

2?11?11?1 （2）P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)????(??)?；

2?42?421 （3）X的概率密度为f(x)?F?(x)? 2?(1?x)

习题2-4

26

1、设X~f(x)?12?e?(x?3)24，则Y?X?3~N(0,1) 22、已知X~f(x)??解：P{X?0.5}??2x,0?x?1，求P{X?0.5};P{X?0.5};F(x)

0,other??0.5??f(x)dx??2xdx;

00.5P{X?0.5}?0;

?0,x?0?0x?xF(x)?P{X?x}???f(x)dx??0dx??2xdx,0?x?1

????0???1,x?1?A?Be?2x,x?03、设X~F(x)??

?0,x?0（1）求A，B

??1?e?2x,x?0?A?1?A?1?F(??)?1解：由?得，?，所以?，即F(x)??

limF(x)?0A?B?0B??10,x?0?????x?0（2）求P{?1?X?1}?F(1)?F(?1)?1?e

?2?2e?2x,x?0（3）f(x)?F?(x)??

?0,x?04、服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度为f(x)?Ae解：由

?|x|，求A及其分布函数。

?????f(x)dx?1??Aedx????0?x??0Ae?xdx?1?A?0.5

x??0.5e,x?0所以其密度函数为f(x)?? ?x??0.5e,x?0分布函数为F(X)?P(X?x}??x???x0.5exdx?0.5ex,x?0????f(x)dx??x

??0.5e?xdx?0.5?0.5e0.5x,x?0?05、设X服从（1，5）上的均匀分布，如果（1）x1?1?x2?5，（2）1?x1?5?x2 求P{x1?X?x2}

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?1?,1?x?5解：因为X~U[1,5]，所以f(x)??4

??0,other11dx?(x2?1) ?x1x1144x251x21（2）当1?x1?5?x2，P{x1?X?x2}??f(x)dx??dx??0dx?(5?x1)

x1x1454（1）当x1?1?x2?5时，P{x1?X?x2}?x2f(x)dx??0dx??1x26、【本题是连续型与离散型随机变量的综合题目】设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆

车到达，设乘客在5分钟内任一时刻到达是等可能的，计算在车站候车的10位乘客中只有一位等待时间超过4分钟的概率。

解：由于乘客在【0，5】时间段内到达车站是等可能性的，设X：乘客在【0，5】时间段内到达的

?1?,0?x?5时刻，则X~U[0,5]，所以f(x)??5

??0,otherA=“每位乘客等待乘车的时间超过分钟”?{0?X?1}， 所以p?P(A)?P{0?x?1}?1?05dx?0.2，

1设Y=“10位乘客中等待时间超过4分钟的人数”，则Y~B(10,0.2)

1所以，是所求概率为P{Y?1}?C100.2?0.89?0.268

7、设X～N（3.22）

（1）求P (22}，P (X>3)

β?μ??α?μ? 解：∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α

P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 )=1??????????2????2??=1－0.3085+0.0062=0.6977

?3?3?P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ??=1－0.5=0.5

2??（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C)

解：P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C)，得P (X≤C )=

1=0.5 2C?3?C?3又P (X≤C )=φ??0 ???0.5,查表可得2?2?2∴ C =3

8、设测量误差X~N(0,10),，进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不少于3的概率。

28

解：误差的绝对值超过19.6的概率为

p?P{|X|?19.6}?1?P{|X|?19.6}?1?P{?19.6?0X?019.6?0?} ?2[1??(1.96)]?0.05

101010设Y：100次独立测量中误差超过19.6的次数，则Y~B(100,0.05)

所以P{Y?3}?1?P{Y?3}?1??Ck?02k1000.050.95k100?k5k?5?1??e?0.87

k?0k!2【评注】本题用到正态分布的标准化，二项分布的泊松逼近。

9、计件超产奖，需对生产定额做出规定。假设每名工人每月装配的产品数X~N(4000,3600)。假定希望10%的工人获得超产奖，求工人每月需完成多少件产品才能获得超产奖。

解：设需要完成n件产品才能获得超产奖。则由题意知，要获得超产奖就需生产的产品数大于等于n，所以

P{X?n}?1?P{X?n}?1?P{所以有1??(X?4000n?4000n?4000?}?1??()

6036003600n?4000n?4000)?0.1??1.28?n?4077 6060210、某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N(110,12)在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求

（1）P (X≤105)，P (100x) ≤ 0.05.

解:(1)P(X?105)??(105?110)??(?0.4167)?1??(0.4167)?1?0.6616?0.3384 12120?110100?11055)??()??()??(?)121266

P(100?X?120)??(5?2?()?1?2?(0.8333)?1?2?0.7976?1?0.59526(2)P(X?x)?1?P(X?x)?1??(查表得x?110x?110)?0.05??()?0.95. 1212x?110?1.645.?x?110?19.74?129.74.故最小的X?129.74 1211、设某城市男子身高X~N(170,36)，

（1）问应如何选择公共汽车的车门高度才能使男子与车门碰头的概率小于0.01？ （2）若车门高度为182厘米，求100个男子中与车门碰头的人数不多于2个概率。

解：因为X~N(170,36)，所以f(x)?12??6e1x?1702?()26,??170,??6

（1）设车门的高度为h，则当“X?h”时，男子能与车门碰头 所以由题意P{X?h}?0.01，将其标准化，可得

P{X?h}?1?P{X?h}?1??(h?170h?170h?170)??()?0.99 ??2.33?h?183.98 66629

（2）当男子的身高大于182厘米时，能与车门碰头，所以

182?170p?P{X?182}?1?P{X?182}?1??()?1??(2)?0.0228

6设Y：100个男子中与车门碰头的人数，则X~B(100,0.0475)

所以所求概率为P{Y?2}??Ck?02k1000.02280.9772k100?k2.28k?2.28??e?0.6013

k!k?02212、某人到火车站有两条路，第一条路程短，但交通拥挤，所需时间服从N(40,10)；第二条路程长，但意外阻塞较少，所需时间服从N(50,4)。 （1）若离开车时间只有60分钟，应选择哪条线路？

（2）若离开车时间只有45分钟，应选择哪条线路？

解：设X：选择第一条线路到达车站所需的时间，则X~N(40,10) Y：选择第二条线路到达车站所需的时间，则Y~N(50,4) （1）两条线路在60分钟内到达车站的概率分别为

222P{X?60}??(60?4060?50)??(2)?0.9772；P{Y?60}??()??(2.5)?0.9938 104所以应选第一条。

（2）两条线路在45分钟内到达车站的概率分别为

45?40)??(0.5)?0.69151045?50P{Y?45}??()??(?1.25)?1??(1 …… 此处隐藏：2550字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……